如圖1,拋物線F1:y=x2的頂點為P,將拋物線F1平移得到拋物線F2,使拋物線F2的頂點Q始終在拋物線F1圖象上(點Q不與點P重合),過點Q直線QB∥x軸,與拋物線F1的另一個交點為B,拋物線F1的對稱軸交拋物線F2于點A.
(1)猜想四邊形ABOQ的形狀為______,若四邊形ABOQ有一個內(nèi)角為60°,則此時點Q的坐標為______
【答案】
分析:此題3個小題的解法是一致的,首先表示出平移后的拋物線解析式,易知AP垂直平分線段BQ,只需看BQ是否垂直平分AP即可,可將P點橫坐標代入平移后的拋物線中,即可得到點A的坐標,然后比較AP的長是否為Q、P縱坐標差的2倍即可;
在證得四邊形ABPQ是菱形后,設(shè)AP與BQ的交點為M,若菱形的一個內(nèi)角為60°,那么△AMQ中,∠MAQ=30°或60°,AM、MQ的長可由點A、Q的坐標獲得,根據(jù)AM=
MQ或
AM=MQ即可求得點Q的坐標.
解答:解:(1)設(shè)平移后的拋物線F
2的解析式為:y=(x-R)
2+S,(R>0,S>0),
由于F
2的頂點(R,S)在拋物線F
1的圖象上,則有:
S=R
2,即拋物線F
2:y=(x-R)
2+R
2,
當x=0時,y=2R
2;
設(shè)AP與BQ的交點為M,則AM=PM=R
2,
所以AP、BQ互相垂直平分,
即四邊形ABPQ是菱形;
由于菱形的一個內(nèi)角是60°,則:
①△AMQ中,∠MAQ=30°時,AM=
QM,
即R
2=
R,
解得R=
,此時Q(
,3);
②△AMQ中,∠MAQ=60°時,
AM=QM,即
R
2=R,
解得R=
,此時Q(
,
).
(2)設(shè)F
2:y=a(x-R)
2+S,(R>0,S>0),
同(1)可得:S=aR
2,
即拋物線F
2:y=a(x-R)
2+aR
2;
當x=0時,y=2aR
2;
即AM=PM=aR
2,故AP、BQ互相垂直平分,即四邊形ABPQ是菱形;
若菱形的一個內(nèi)角是60°,同(1)可知:
①AM=
QM,即aR
2=
R,解得R=
,此時Q(
,
);
②
AM=QM,即
aR
2=R,解得R=
,此時Q(
,
).
(3)設(shè)F
2:y=a(x-R)
2+S,(R>0,S>0),
同(2)得:S=a(R-m)
2+n,即拋物線F2:y=a(x-R)
2+a(R-m)
2+n,
當x=m時,y=2a(R-m)
2+n,
故AM=PM=a(R-m)
2,
同理可得四邊形ABPQ是菱形;
Q(m+
,n+
)或(m+
,n+
).
點評:此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及菱形的判定方法,由于題目中大部分數(shù)據(jù)都是未知數(shù),所以難度較大.