Question

（2013•松江區(qū)模擬）如圖1，在△ABC中，已知AB=15，cosB=

3

5

，tanC=

12

5

．點(diǎn)D為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以D為圓心，BD為半徑的⊙D交邊AB于點(diǎn)E．
（1）設(shè)BD=x，AE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（2）如圖2，點(diǎn)F為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BD=

7

13

CF，聯(lián)結(jié)DF．
①當(dāng)△ABC和△FDC相似時(shí)，求⊙D的半徑；
②當(dāng)⊙D與以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)C為半徑⊙F外切時(shí)，求⊙D的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AE=AB-BE進(jìn)而得出y與x的函數(shù)關(guān)系即可；
（2）①過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，利用△ABC和△FDC相似求出⊙D的半徑即可；
②過點(diǎn)F作FM⊥BC，首先利用勾股定理計(jì)算出FD的長(zhǎng)，再利用外切的性質(zhì)得出DF，進(jìn)而求出⊙D的半徑．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DG⊥BE，垂足為E．
∵DG過圓心，
∴BE=2BG，
在Rt△DGB中，cosB=

BG

BD

=

3

5

，
∵BD=x，
∴BG=

3

5

x，
∴BE=

6

5

x，
∵AB=15，
∴y=15-

6

5

x，定義域?yàn)椋?＜x≤

25

2

；

（2）①過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H
在Rt△ADH中，cosB=

BH

AB

=

3

5

∵AB=15，
∴BH=9，
∴AH=12，
在Rt△AHC中，tanC=

AH

HC

=

12

5

∴HC=5，
∴BC=14，
設(shè)BD=x，則CF=

13

7

x，DC=14-x，
∵∠C=∠C，
∴當(dāng)△ABC和△FDC相似時(shí)，有
（ⅰ）

CF

CA

=

CD

CB

，
即

13 7 x

13

=

14-x

14

，
解得：x=

14

3

，
∴BD=

14

3

，
（ⅱ）

CF

CB

=

CD

CA

，
即

13 7 x

14

=

14-x

13

，
解得：x=

1372

267

，
∴BD=

1372

267

，
∴當(dāng)△ABC和△FDC相似時(shí)，⊙D的半徑為

14

3

或

1372

267

，
②過點(diǎn)F作FM⊥BC，垂足為M
在Rt△FMC中，tanC=

FM

MC

=

12

5

，
∴sinC=

FM

FC

=

12

13

，
∵CF=

13

7

x，
∴FM=

12

7

x，MC=

5

7

x，
∴DM=14-x-

5

7

x=14-

12

7

x，
∴DF=

DM2+FM2

=

(14- 12 7 x)2+( 12 7 x)2

，
∵⊙D與⊙F外切，
∴DF=x+

13

7

x=

20

7

x，
∴

(14- 12 7 x)2+( 12 7 x)2

=

20

7

x，
解得：x₁=

7

2

，x₂=-

49

2

（舍去）
即BD=

7

2

，
∴當(dāng)⊙D與⊙F外切時(shí)，⊙D的半徑為

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和相切兩圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用已知進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．