Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c經過點A（1，0）和B（0，5），拋物線與坐標軸的另一交點為C，
（1）求此拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）如果點M是線段BC的動點，且⊙M與x軸、y軸都相切，切點分別是點E、F，試求出點M的坐標．
（3）在直線CB上是否存在一點P，使四邊形PDCO為梯形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先根據題意列出方程組，解出b、c的值，即可求出解析式．
（2）本題由（1）得出的解析式，得出C點的坐標，再求出CB的解析式，根據已知得出點M到x軸、y軸的距離都相等，再設出M的坐標，即可求出答案．
（3）本題需先根據已知條件，分兩種情況進行討論，得出OP的解析式來，解出P點的坐標，即可證出所求的結果．
解答：解：（1）根據題意，得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x+5，
由頂點D的坐標為（-2，9）；

（2）由拋物線的解析式為y=-x²-4x+5，
可得C點的坐標為（-5，0），
∵B點的坐標為（0，5），
∴直線CB的解析式為y=x+5
因為⊙M與x軸、y軸都相切，所以點M到x軸、y軸的距離都相等．
設M（a，-a）（-5＜a＜0），
得-a=a+5，
得a=-2.5．
所以點M的坐標為（-2.5，2.5）；

（3）（i）當OP∥CD，且OP≠CD時，四邊形PDCO為梯形．
∵直線CD的解析式為y=3x+15，OP∥CD，
∴直線OP的解析式為y=3x．
根據題意，得，
得，
∴點P．
∵OP=，CD=3，
∴OP≠CD，
∴點P（，）即為所求，
∴點P（4，9）即為所求；
（ii）當DP∥CO，且DP≠CO時，四邊形PDCO為梯形，
根據題意，
解得：，
∴點P（4，9），
∵OC=5，DP=6，
∴OC≠DP，
綜上所述，為所求的．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合應用，在解題時要注意解析式的確定、梯形的性質等重要知識點，（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．