Question

如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點(diǎn)，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設(shè)P為直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點(diǎn)F．問：在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使得以P，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x+2）（x-4），將（0，4）代入，求出a=-

1

2

，即可得到拋物線的解析式，把解析式化成頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）△EBC應(yīng)為鈍角三角形．根據(jù)直線MN⊥BC于直線點(diǎn)Q，求出tan∠EBQ=

1

2

，得出∠EBQ＜45°即可；
（3）存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀=y₀），只要PF∥ED，PF=ED，根據(jù)點(diǎn)F在拋物線上，求出|Y_F-Y₀|=DE=

7

2

，求出x₀=-1，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)和點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x+2）（x-4），
將（0，4）代入，得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4，
∴y=-

1

2

 (x2-2x-8)=-

1

2

 (x-1)2+

9

2

，頂點(diǎn)D為（1， 

9

2

）；
答：拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+x+4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，

9

2

）．

（2）答：△EBC應(yīng)為鈍角三角形．
證明：∵直線MN⊥BC于直線點(diǎn)Q，
在直角三角形EBQ中，tan∠EBQ=

1

2

，
∴∠EBQ＜45°，
可得∠BEC為鈍角，
∴△EBC應(yīng)為鈍角三角形．
∵△OEC≌△OEB，
∴EB=EC，
∴△EBC也是等腰三角形．

（3）解：存在．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀=y₀），
∵PF∥ED，
∴只需使得PF=ED，
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴yF=-

1

2

x

2 0

+x0+4，|yF-y0| =-

1

2

x

2 0

+4=|ED| =

7

2

，
可解得x₀=±1，取x₀=-1，
則存在點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-1），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1， 

5

2

），符合題目的條件，
答：存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-1），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1， 

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的定義，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中．