如圖,已知拋物線y=
1
2
x2
+bx+c與y軸相交于C,與x軸相交于A、B,點A的坐標為(2,0),點C的坐標為(0,-1).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點E是線段AC上一動點,過點E作DE⊥x軸于點D,連接DC,當△DCE的面積最大時,求點D的坐標;
(3)在直線BC上是否存在一點P,使△ACP為等腰三角形?若存在,求點P的坐標;若不存在,說明理由.
(1)由于拋物線經(jīng)過A(2,0),C(0,-1),
則有:
1
2
×4+2b+c=0
c=-1
,
解得
b=-
1
2
c=-1

∴拋物線的解析式為:y=
1
2
x2
-
1
2
x-1.

(2)∵A(2,0),C(0,-1),
∴直線AC:y=
1
2
x-1;
設(shè)D(x,0),則E(x,
1
2
x-1),
故DE=0-(
1
2
x-1)=1-
1
2
x;
∴△DCE的面積:S=
1
2
DE×|xD|=
1
2
×(1-
1
2
x)×x=-
1
4
x2+
1
2
x=-
1
4
(x-1)2+
1
4

因此當x=1,
即D(1,0)時,△DCE的面積最大,且最大值為
1
4


(3)由(1)的拋物線解析式易知:B(-1,0),
可求得直線BC的解析式為:y=-x-1;
設(shè)P(x,-x-1),因為A(2,0),C(0,-1),則有:
AP2=(x-2)2+(-x-1)2=2x2-2x+5,
AC2=5,CP2=x2+(-x-1+1)2=2x2;
①當AP=CP時,AP2=CP2,有:
2x2-2x+5=2x2,解得x=2.5,
∴P1(2.5,-3.5);
②當AP=AC時,AP2=AC2,有:
2x2-2x+5=5,解得x=0(舍去),x=1,
∴P2(1,-2);
③當CP=AC時,CP2=AC2,有:
2x2=5,解得x=±
10
2
,
∴P3
10
2
,-
10
2
-1),P4(-
10
2
10
2
-1);
綜上所述,存在符合條件的P點,且P點坐標為:P1(2.5,-3.5)、P2(1,-2)、P3
10
2
,-
10
2
-1)、P4(-
10
2
,
10
2
-1).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3),線段BC與拋物線的對稱軸相交于點P.M、N分別是線段OC和x軸上的動點,運動時保持∠MPN=90°不變.連結(jié)MN,設(shè)MC=m.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)用含m的代數(shù)式表示△PMN的面積S,并求S的最大值;
(3)以PM、PN為一組鄰邊作矩形PMDN,當此矩形全部落在拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(含邊界)時,求m的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,從O點射出炮彈落地點為D,彈道軌跡是拋物線,若擊中目標C點,在A測C的仰角∠BAC=45°,在B測C的仰角∠ABC=30°,AB相距(1+
3
)km,OA=2km,AD=2km.
(1)求拋物線解析式;
(2)求拋物線對稱軸和炮彈運行時最高點距地面的高度.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,排球運動員甲站在點O處練習發(fā)球,球網(wǎng)與O點的水平距離為9m,高度為2.43m,球場的邊界距O點的水平距離為18m.若把球看成點,其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)是二次函數(shù)關(guān)系.以O(shè)為原點建立平面直角坐標系.
(1)在某一次發(fā)球時,甲將球從O點正上方2m的A處發(fā)出,已知球的最大飛行高度為2.6m,此時距O點的水平距離為6m.
①求拋物線的解析式.
②球能否越過球網(wǎng)?球會不會出界?請說明理由.
(2)若球的最大飛行高度時距O點的水平距離6m不變,要使球一定能越過球網(wǎng),又不出邊界,求二次函數(shù)中二次項系數(shù)的最大值.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線C1的頂點坐標是D(1,4),且經(jīng)過點C(2,3),又與x軸交于點A、E(點A在點E左邊),與y軸交于點B.
(1)拋物線C1的表達式是______;
(2)四邊形ABDE的面積等于______;
(3)問:△AOB與△DBE相似嗎?并說明你的理由;
(4)設(shè)拋物線C1的對稱軸與x軸交于點F.另一條拋物線C2經(jīng)過點E(C2與C1不重合),且頂點為M(a,b),對稱軸與x軸交于點G,并且以M、G、E為頂點的三角形與以點D、E、F為頂點的三角形全等,求a、b的值.(只需寫出結(jié)果,不必寫解答過程).

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

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(1)直接寫出圖②中點B1、B3、B5的坐標;
(2)求圖②中拋物線的函數(shù)表達式;
(3)求圖①中支柱A2B2、A4B4的長度.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

某科研所投資200萬元,成功地研制出一種市場需求量較大的汽配零件,并投入資金700萬元進行批量生產(chǎn).已知每個零件成本20元.通過市場銷售調(diào)查發(fā)現(xiàn):當銷售單價定為50元時,年銷售量為20萬件;銷售單價每增加1元,年銷售量將減少1000件.設(shè)銷售單價為x元,年銷售量為y(萬件),年獲利為z(萬元)
(1)試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍)
(2)試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍)
(3)當銷售單價定為多少時,年獲利最多?并求出這個年利潤.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

養(yǎng)雞專業(yè)戶小李要建一個露天養(yǎng)雞場,雞場的一邊靠墻(墻足夠長),其他邊用竹籬笆圍成,竹籬笆的長為40m,讀九年級的兒子小軍為他設(shè)計了如下方案:如圖,把養(yǎng)雞場圍成等腰梯形ABCD,且∠ABC=120°.
(1)當AB為何值時,所圍的面積是132
3
m2
;
(2)當AB為何值時,所圍的面積最大?

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

飛機著陸后滑行的距離s(單位:米)與滑行的時間t(單位:秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是s=60t-1.5t2.飛機著陸后滑行______秒才能停下來.

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同步練習冊答案