Question

（2009•寶山區(qū)二模）如圖，已知⊙O₁、⊙O₂交于點(diǎn)A、B，O₁A、O₁B的延長(zhǎng)線分別與⊙O₂交于點(diǎn)C、D．
（1）求證：AC=BD；
（2）若⊙O₁的半徑為5，O₁O₂=10，sin∠AO₁O₂=，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB，過(guò)點(diǎn)O₂作O₂E⊥AC、O₂F⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E、F，要證明AC=BD，只需證明它們的弦心距相等，結(jié)合已知條件，只需根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)，可以得到相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，即可證明；
（2）設(shè)AB與連心線的交點(diǎn)是F，在直角三角形AO₁F中和直角三角形O₁O₂E中，根據(jù)銳角三角函數(shù)sin∠AO₁O₂=，和⊙O₁的半徑為5，O₁O₂=10可以求得AF，O₂E，O₁E的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得AB的長(zhǎng)和AC的長(zhǎng)，根據(jù)O₁A=O₁B，AC=BD，得到AB∥CD，再進(jìn)一步寫(xiě)出要求的線段和已知的線段之間的比例式進(jìn)行求解．
解答：解：（1）證明：連接AB，過(guò)點(diǎn)O₂作O₂E⊥AC、O₂F⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E、F，
∵O₁O₂是連心線，AB是公共弦，
∴O₁O₂垂直平分AB．
又O₁A=O₁B，
∴O₁O₂平分∠AO₁B．
∴O₂E=O₂F．
∴AC=BD．

（2）連接CD，
∵O₁O₂=10，，
∴O₂E=6，O₁E=8．
又∵⊙O₁的半徑為5，
∴AE=3，從而AC=6．
又可得AB=6．
∵O₁A=O₁B，AC=BD，
∴AB∥CD．
∴△ABO₁∽△CDO₁，
∴，
∴，
∴．
點(diǎn)評(píng)：連接相交兩圓的公共弦是相交兩圓中常見(jiàn)的輔助線之一．能夠綜合運(yùn)用相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦、等腰三角形的三線合一、角平分線的性質(zhì)、兩條弦的弦心距相等，則兩條弦相等的性質(zhì)；能夠熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算．