Question

如圖，已知兩點(diǎn)A（-8，0），C（0，4），以AB為直徑的半圓與y軸正半軸交于點(diǎn)C．
（1）求過A、C兩點(diǎn)的直線的解析式和經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D是（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求△ACD的面積．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)A、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式．
連接AC，BC，在直角三角形ACB中，可用射影定理求出OB的長(zhǎng)，即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）由于△ACD的面積無法直接求出，因此可化為其他圖形面積的和差來進(jìn)行求解．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于E點(diǎn)，可先根據(jù)直線AC的解析式求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別計(jì)算出三角形ADE和CDE的面積，即可得出三角形ACD的面積．

解答：解：（1）連接AC、BC．則有∠ACB=90°，根據(jù)射影定理有：
OC²=OA•OB，
∴OB=OC²÷OA=16÷8=2
∴B（2，0）
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+4，已知直線AC過A（-8，0），則有
-8k+4=0，k=

1

2

．
∴直線AC的解析式為：y=

1

2

x+4
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+8）（x-2），
已知拋物線過C（0，4），因此：
a（0+8）（0-2）=4，a=-

1

4

∴拋物線的解析式為y=-

1

4

（x+8）（x-2）=-

1

4

（x+3）²+

25

4

．

（2）易知：D（-3，

25

4

）
設(shè)直線AE與拋物線對(duì)稱軸交于E點(diǎn)，則有E（-3，

5

2

）
因此DE=

15

4

∴S_△ACD=S_△AED+S_△CDE=

1

2

×

15

4

×5+

1

2

×

15

4

×3=15（平方單位）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．