Question

如圖，三角形ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CE∥AB交MN于E連結(jié)AE、CD．
（1）求證：OD=OE；
（2）請判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，得出AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，由CE∥AB，得到∠DAO=∠ECO，利用AAS證明△ADO≌△CEO，即可得出OD=OE；
（2）由一組對(duì)邊平行且相等知，四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形得平行四邊形ADCE是菱形．

解答：（1）證明：∵M(jìn)N是AC的垂直平分線，
∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°．
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△ADO與△CEO中，

∠DAO=∠ECO ∠AOD=∠EOC=90° OA=OC

∴△ADO≌△CEO（AAS），
∴OD=OE；

（2）解：四邊形ADCE是菱形．理由如下：
由（1）得OA=OC，OD=OE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵AC⊥DE，
∴平行四邊形ADCE是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，證明△ADO≌△CEO，得出OD=OE是解題的關(guān)鍵．