Question

（2009•松江區(qū)二模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點E是AB的中點．
（1）如圖，P為BC上的一點，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；
（2）如果點P在BC邊上移動（點P與點B、C不重合），且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點F，同時交直線AD于點M，那么
①當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè)BP=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
②當(dāng)時，求BP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證△BEP∽△CPD，可由梯形ABCD中AB=DC，得出∠B=∠C，根據(jù)相似三角形的判斷兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似，證明兩組對應(yīng)邊的比相等即可；
（2）①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，通過證明△BEP∽△CPF，得出比例關(guān)系即可；
②求BP的長，分為兩種情況：當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，證明△BEP∽△DMF，根據(jù)，得到相似比，結(jié)合（2＜x＜4）求解即可，當(dāng)點F在線段CD上時，同前，求得當(dāng)時，BP的長為1．
解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．（1分）
BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．
∴．
∴△BEP∽△CPD．（2分）

（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF
∴180-∠B=180-∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF
∴∠BEP=∠FPC，（1分）
∴△BEP∽△CPF，
∴．（1分）
∴．（1分
∴（2＜x＜4）．（2分）
②當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，
∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，
∴△BEP∽△DMF．（1分）
∵，
∴．（1分）
∵，
∴x²-3x+8=0，△＜0．
∴此方程無實數(shù)根．
故當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，不存在點P使；（1分）
當(dāng)點F在線段CD上時，同理△BEP∽△DMF，
∵，
∴．
∵△BEP∽△CPF，
∴．
∴．（1分）
∴．
∴x²-9x+8=0，解得x₁=1，x₂=8．（1分）
由于x₂=8不合題意舍去．
∴x=1，即BP=1．（1分）
∴當(dāng)時，BP的長為1．
點評：本題數(shù)形結(jié)合，考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，及二次函數(shù)的綜合運用．