Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A為第二象限內(nèi)一點(diǎn)，且AO=5

5

，cosα=

2 5

5

．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在x軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得cos∠APO=

12

13

？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)A作AD垂直于x軸于D，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，分別求出OD=10，AD=5．從而求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分①P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)，②P點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)兩種情況，根據(jù)勾股定理求出PD，AP的長(zhǎng)度，得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)A作AD垂直于x軸于D
在Rt△ADO中，∵AO=5

5

，cosα=

2 5

5

∴

OD

AO

=

2 5

5

∴OD=10，AD=5．（1分）
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-10，5）（2分）

（2）存在點(diǎn)P，使得cos∠APO=

12

13

當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
在Rt△APD中，
∵AD=5，cos∠APO=

12

13

設(shè)PD=12k，AP=13k
∵PD²+AD²=AP²
∴k=1∴PD=12，AP=13
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-22，0）（4分）
當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
同理有PD=12，AP=13
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）（5分）
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-22，0）或（2，0）．（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．同時(shí)考查了勾股定理．