Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為，直線與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負(fù)方向平移，同時，若直線l繞點(diǎn)A順時針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時，直線l也恰好與⊙B第一次相切，見圖（2）求B₁的坐標(biāo)以及直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？
（3）若直線l不動，⊙B沿x軸負(fù)方向平移過程中，能否與⊙O與直線l同時相切？若相切，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線的解析式，易得AC的坐標(biāo)，進(jìn)而可得OA、OC的關(guān)系，由三角函數(shù)的定義可得∠CAO的大��；
（2）設(shè)相切時，MN=t，易得ON，MN的值，進(jìn)而可得∠AB₁O=∠NAB₁，故PA∥B₁O；
易得在Rt△NOB₁中，∠1=90°，即可得出答案；
（3）先假設(shè)能，且設(shè)⊙B與⊙O第二次相切時⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E．
易得四邊形B₂EHO為平行四邊形，此時⊙B與直線l同時相切．
解答：解：（1）直線．
當(dāng)x=0時，y=-；當(dāng)y=0，時，x=-，
所以A（，0）．
∵C（0，），
∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．

（2）如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，
此時，直線l旋轉(zhuǎn)到l₁恰好與⊙B₁第一次相切于點(diǎn)P，⊙B₁與x軸相切于點(diǎn)N，連接B₁O，B₁N．
則MN=t，OB₁=，B₁N=1，B₁N⊥AN．
∴ON=1，
∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P，則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N，
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
∴直線AC繞點(diǎn)A平均每秒旋轉(zhuǎn)270°÷3=90°．

（3）能，設(shè)⊙B與⊙O第二次相切時⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E，作OH⊥AC于H．
∵△OAC為等腰直角三角形，且OA=OC=，
∴根據(jù)勾股定理得到AC=2，
又OH⊥AC，
∴OH為斜邊AC上的中線，
∴OH=AC=1，
∴OH=B₂E=1，
∵B₂E⊥l，OH⊥l，
∴B₂E∥OH，
∵四邊形B₂EHO為平行四邊形，
則B₂E=OH=1，
故此時⊙B與圓0與直線l同時相切．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系．要求學(xué)生有一定的數(shù)形結(jié)合的能力，即結(jié)合圖形分析，進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，得出答案．