Question

在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為2

2

cm的等腰直角三角板ABC如圖放置，BC邊與x軸重合，∠ACB=90°，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0）．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（-3，2

2

）

，點(diǎn)B的坐為

(-3-2

2

，0)

；
（2）求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)且過點(diǎn)A的拋物線的解析式；
（3）現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移，則平移的時(shí)間為多少秒時(shí)，三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的腰長求得AC和BC的長，然后根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式；
（3）隨著三角形的運(yùn)動分四種情況：①當(dāng)三角板向右平移1cm時(shí)，AC與圓相切，②當(dāng)三角板向右平移3cm時(shí)，AB與半圓相切，③當(dāng)三角板向右平移5cm時(shí)，邊AC與⊙O第二次相切，④當(dāng)三角板向右平移，邊AB所在直線與⊙O第二次相切．分別求得半圓的圓心移動的距離后，再求得運(yùn)動的時(shí)間．

解答：解：（1）∵AC=BC=2

2

，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，2

2

），
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3-2

2

，0)；
（2）∵拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線y=ax²，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，
∴9a=2

2

，
解得：a=

2 2

9

∴拋物線的解析式為：y=

2 2

9

x²          
（3）①當(dāng)三角板向右平移1cm時(shí)，AC與⊙O第一次相切，t₁=1s
②當(dāng)三角板向右平移3cm時(shí)，邊AB與⊙O第一次相切，
設(shè)切點(diǎn)為M，在Rt△OMB’中OM=2，∠OB′P=45°，
∴OB′=

22+22

=2

2

∴BB′=OB-OB′=(2

2

+3)-2

2

=3
∴t₂=3s
③當(dāng)三角板向右平移5cm時(shí)，邊AC與⊙O第二次相切，t₃=5s
④當(dāng)三角板向右平移，邊AB所在直線與⊙O第二次相切，設(shè)切點(diǎn)為P，在Rt△OPB″中
OP=2，∠OB″P=45°，
∴OB″=

22+22

=2

2

∴BB″=(2

2

+3)+2

2

=4

2

+3
∴t4=4

2

+3s
所以  t₁=1s   或 t₂=3s   或  t₃=5s 或 t4=4

2

+3s

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合知識，要求學(xué)生熟練掌握圓與直線的位置關(guān)系，并結(jié)合常見的函數(shù)進(jìn)行綜合分析，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的分析能力．