Question

九年級(jí)（1）班為即將到來(lái)的“五•一”國(guó)際勞動(dòng)節(jié)排練節(jié)目時(shí)需要3個(gè)底面圓半徑為10厘米，母線長(zhǎng)為20厘米的圓錐形小紅帽（不計(jì)接縫損失）．
（1）試確定這種圓錐形小紅帽側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的圓心角的度數(shù)；
（2）現(xiàn)有寬為40厘米的矩形布料可供選用，按照題目要求在圖1中畫(huà)出使布料能充分利用（最省料）的示意圖，并求出矩形布料的長(zhǎng)至少為多少厘米．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算,勾股定理,相切兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)求出圓心角即可；
（2）利用扇形的圓心角為180°，圓錐母線長(zhǎng)為20厘米，所以這個(gè)扇形的半徑為20厘米的半圓，結(jié)合⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃兩兩外切，由兩圓外切的性質(zhì)得出和勾股定理求出O₃E的長(zhǎng)，進(jìn)而得出EO₃=O₁D，以及矩形布料的長(zhǎng)至少應(yīng)為(20+20

3

)厘米．

解答：解：（1）設(shè)圓心角的度數(shù)為n°，則

nπ×20

180

=2π×10．（3分）
所以n=180．所以此圓錐形小紅帽側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為180°．（5分）

（2）因?yàn)樯刃蔚膱A心角為180°，圓錐母線長(zhǎng)為20厘米，所以這個(gè)扇形的半徑為20厘米的半圓．
如圖1所示，當(dāng)三個(gè)半圓所在圓兩兩外切，且半圓的直徑與長(zhǎng)方形的邊垂直時(shí)，能使布料得以充分利用．（10分）
如圖2，連接O₁O₂，O₂O₃，O₃O₁．
因?yàn)椤袿₁，⊙O₂，⊙O₃兩兩外切，AO₁=BO₂=CO₃=20，
所以O(shè)₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=O₁A+CO₃=40．
過(guò)點(diǎn)O₃作O₃E⊥O₁O₂，垂足為E．
因?yàn)镺₂O₃=O₁O₃，
所以O1E=O2E=

1

2

O1O2=20．
在△O₁EO₃中，∠O₁EO₃=90°，
根據(jù)勾股定理EO3=

O1O32-O1E2

=

402-202

=20

3

．（15分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°．
因?yàn)锳O₁=BO₂，AO₁∥BO₂，
所以四邊形ABO₂O₁是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°．
所以O(shè)₁E∥DO₃．
又因?yàn)镺₁E=DO₃，
所以四邊形O₁EO₃D是平行四邊形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO1+O1D=20+20

3

．（20分）
因此矩形布料的長(zhǎng)至少應(yīng)為(20+20

3

)厘米．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算以及兩圓外切的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，利用相切兩圓性質(zhì)得出EO₃=O₁D的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．