Question

（1996•山東）如圖，在△ABC中，BC=6，AC=4

2

，∠C=45°，在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作PD∥AB，與AC相交于點(diǎn)D，連接AP，設(shè)BP=x，△APD的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍．
（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使得△APD的面積等于△ABP面積的

2

3

？若存在，求出BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)△ABP，△APD，△CDP的面積分別記為S₁，S₂，S₃，由已知條件可求出△ABC中BC邊上的高為4，設(shè)△CDP中PC邊上的高為h，找到h和x的數(shù)量關(guān)系，則即可求出用x的代數(shù)式分別表示S₁，S₂，S₃進(jìn)而表示出△APD的面積y；
（2）存在，有（1）可知AE=4，進(jìn)而求出S△ABP=

1

2

BP•AN=

x

2

•4=2x，當(dāng)使得△APD的面積等于△ABP面積的

2

3

時(shí)，則-

1

3

x2+2x=

2

3

•2x，再解一元二次方程即可求出BP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）過(guò)A作AE⊥BC，則AE為BC邊上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，得到此三角形為等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
∴△ABC中BC邊上的高為4，
設(shè)△CDP中PC邊上的高為h，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴

h

4

=

6-x

6

，
∴h=

2

3

（6-x）
這樣S₁=2x，S₃=

1

2

（6-x）•

2

3

6-x）=

1

3

（6-x）²，
S₂=12-2x-

1

3

（6-x）²，
即y=-

1

3

x2+2x，
∵P點(diǎn)只能在線段BC上移動(dòng)，且不能與B、C兩點(diǎn)重合
∴函數(shù)自變量的取值范圍是0＜x＜6；

（2）由（1）可知AE=4，
∴S△ABP=

1

2

BP•AE=

x

2

•4=2x，
若S△APD=

2

3

S△ABP則-

1

3

x2+2x=

2

3

•2x
即x²-2x=0解得x₁=2，x₂=0（舍去）
∵0＜2＜6，
∴在BC邊上存在一點(diǎn)P（BP=2），使△APD的面積等于△ABP的面積的

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系以及三角形的面積，難度不大，屬于中檔題目．