Question

如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為E，F(xiàn)為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CBF=∠CDB．
（1）求證：FB為⊙O的切線；
（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）

解析試題分析：（1）連接OB，由圓周角定理可得∠CBD=90°，再由圓所具有的性質(zhì)及已知條件，可得∠OBF=90°；從而問(wèn)題得證；
（2）先由垂徑定理求得BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)△OBE∽△OBF，利用相似三角形的性質(zhì)求得OF的長(zhǎng)，則sinF即可求解．
試題解析：（1）連接OB．

∵CD是直徑，
∴∠CBD=90°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
又∠CBF=∠D，
∴∠CBF=∠OBD，
∴∠OBF=90°，即OB⊥BF，
∴FB是圓的切線；
（2）∵CD是圓的直徑，CD⊥AB，
∴BE=AB=4，
設(shè)圓的半徑是R，在直角△OEB中，根據(jù)勾股定理得：R²=（R﹣2）²+4²，
解得：R=5，
∵∠BOE=∠FOB，∠BEO=∠OBF，
∴△OBE∽△OBF，
∴OB²=OE•OF，
∴OF=，
則在直角△OBF中，sinF=
考點(diǎn)：1、圓周角定理；2、切線的判定；3、相似三角形的判定與性質(zhì)；4、勾股定理