Question

4．如圖①，直線AB與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，OA、OB的長(zhǎng)度分別為a和b，且滿足a²-2ab+b²=0．
（1）判斷△AOB的形狀；
（2）如圖②，△COB和△AOB關(guān)于y軸對(duì)稱，D點(diǎn)在AB上，點(diǎn)E在BC上，且AD=BE，試問(wèn)：線段OD、OE是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；
（3）將（2）中∠DOE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使D、E分別落在AB，BC延長(zhǎng)線上（如圖③），∠BDE與∠COE有何關(guān)系？直接說(shuō)出結(jié)論，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a²-2ab+b²=0，可得a=b，又由∠AOB=90°，所以可得出△AOB的形狀；
（2）OD=OE，OD⊥OE，通過(guò)證明△OAD≌△OBE可以得證；
（3）由∠DEB+∠BEO=45°，∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，得出∠DEB=∠COE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，從而得出∠BDE+∠COE=90°，所以∠BDE與∠COE互余．

解答 解：（1）∵a²-2ab+b²=0．
∴（a-b）²=0，
∴a=b，
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB為等腰直角三角形；
（2）OD=OE，OD⊥OE，理由如下：
如圖 ②，∵△AOB為等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵BO⊥AC，
∴∠DAO=∠EBO=45°，BO=AO，
在△OAD和△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠DAO=∠EBO=45°}\\{AD=BE（已知）}\end{array}\right.$，
△OAD≌△OBE（SAS），
∴OD=OE，∠AOD=∠BOE，
∵∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠DOB+∠BOE=90°，
∴OD⊥OE；
（3）∠BDE與∠COE互余，理由如下：
如圖③，∵OD=OE，OD⊥OE，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴∠DEO=45°，
∴∠DEB+∠BEO=45°，
∵∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，
∴∠DEB=∠COE，
∵∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠COE=90°
∴∠BDE與∠COE互余．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．