(2009•武漢模擬)如圖,O是△ABC的外接圓的圓心,∠ABC=60°,BF,CE分別是AC,AB邊上的高且交于點H,CE交⊙O于M,D,G分別在邊BC,AB上,且BD=BH,BG=BO,下列結(jié)論:①∠ABO=∠HBC;②AB•BC=2BF•BH;③BM=BD;④△GBD為等邊三角形,其中正確結(jié)論的序號是( )

A.①②
B.①③④
C.①②④
D.①②③④
【答案】分析:①,延長AO交圓于點N,連接BN,可證明∠ABO=∠HBC.因此①正確;
②原式可寫成=,無法直接用相似來求出,那么可通過相等的比例關系式來進行轉(zhuǎn)換,不難發(fā)現(xiàn)三角形BEC中,∠ABC=60°,那么BC和BE存在倍數(shù)關系,即BC=2BE,因此如果證得=,可發(fā)現(xiàn)這個比例關系式正好是相似三角形BEH和BAF的兩組對應線段,因此本題的結(jié)論也是正確的.
③要證MB=BD,先看與BD相等的線段有哪些,不難通過相似三角形ABN和BFC(一組直角,∠OBA=∠OAB=∠FBC)得出,將這個結(jié)論和②的結(jié)論進行置換即可得出:BD=BO=BH=BG,因此可證MB和圓的半徑相等即可得出BM=BD的結(jié)論.如果連接NC,在三角形ANC中∠ANC=∠ABC=60°,因此AN=2NC,NC就是半徑的長.通過相似三角形BME和CAE可得出,而在直角三角形BEC中,BE:EC=tan30°,而在直角三角形ANC中,NC:AC=tan30°,因此,即可得出BM=NC=BO=BD.因此該結(jié)論也成立.
④在③中已經(jīng)得出了BD=BG=BO=BH,而∠ABC=60°,因此三角形BGD是等邊三角形.本結(jié)論也成立.
因此四個結(jié)論都成立,
解答:解:①延長AO交圓于點N,連接BN,則∠ABN=90°,又∠ACB=∠N,∠ABO=∠BAO,所以∠ABO=∠HBC.因此①正確;
②原式可寫成=,∠ABC=60°,那么BC=2BE,因此=,所以本題的結(jié)論也是正確的.
③∵△ABN∽△BFC(一組直角,∠OBA=∠OAB=∠FBC)∴,BD=BO=BH=BG,BM=BD.
連接NC,在三角形ANC中∠ANC=∠ABC=60°,∴AN=2NC,BE:EC=tan30°,
在直角三角形ANC中,NC:AC=tan30°,,∴BM=NC=BO=BD.
因此該結(jié)論也成立.
④在③中已經(jīng)得出了BD=BG=BO=BH,而∠ABC=60°,因此三角形BGD是等邊三角形.本結(jié)論也成立.
因此四個結(jié)論都成立,
故選D.
點評:本題中線段較多,要找準和已知,所求的條件相關的線段,然后逐一梳理思路,通過相似三角形來進行求解.
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