Question

已知△ABC，
①如圖1，若P點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點；
②如圖2，若P點是∠ABC和∠ACE的角平分線的交點；
③如圖3，若P點是∠CBF和∠BCE的角平分線的交點．
（1）探究上述三種情況下，∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）；
（2）任選一種情況加以證明．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理、角平分線的定義探求并證明．

解答：解：（1）對于圖1：∠P=90°+

1

2

∠A；
對于圖2：∠P=

1

2

∠A；
對于圖3：∠P=90°-

1

2

∠A；

（2）證明：如圖2，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠ACP=

1

2

∠ACE．
又∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC．
∵∠P=180°-∠PBC-∠BCP，
∴∠P=180°-

1

2

∠ABC-∠ACB-∠ACP
=180°-

1

2

∠ABC-∠ACB-

1

2

∠ACE
=180°-

1

2

(∠ABC+∠A+∠ABC)-∠ACB
=180°-∠ABC-

1

2

∠A-∠ACB
=180°-（∠ABC+∠ACB）-

1

2

∠A
=180°-（180°-∠A）-

1

2

∠A
=∠A-

1

2

∠A
=

1

2

∠A．

點評：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，是經(jīng)常出現(xiàn)的題目，最好能記住．