提出問(wèn)題

(1)如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C)，連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC＝∠ACN．

類(lèi)比探究

(2)如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)C)，其它條件不變，(1)中結(jié)論∠ABC＝∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

拓展延伸

(3)如圖3，在等腰△ABC中，BA＝BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C)，連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN＝∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

22、閱讀理解：
課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：
如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．
（1）問(wèn)題解決：
受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索線(xiàn)段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（2）問(wèn)題拓展：
如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線(xiàn)段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

提出問(wèn)題：小明是個(gè)愛(ài)思考的學(xué)生，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后小明發(fā)現(xiàn)：
sin90°=1，sin45°=
2
2
，90°是45°的兩倍，但三角函數(shù)值卻是
2
倍；
sin30°=
 
，sin60°=
 
，60°是30°的兩倍，但三角函數(shù)值卻是
 
倍，
考慮到cos45°，cos30°的三角函數(shù)值，估計(jì)sin2α=2sinαcosα，代入檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)以上兩組角度都符合．
解決問(wèn)題：那么如何證明sin2α=2sinαcosα呢？
小明思考再三，發(fā)現(xiàn)在△ABC中（圖2），高AD=ABsinB，可得S△ABC=
1
2
BC•ABsinB，
利用這個(gè)結(jié)論證明上述命題結(jié)論．聰明的你也能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？
如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，設(shè)∠BAD=α，求證：sin2α=2sinαcosα．
推廣應(yīng)用：解決了以上問(wèn)題后，小明思考再三，終于發(fā)現(xiàn)了sin（α+β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關(guān)系，
你能結(jié)合圖3證明出自己所猜想的sin（α+β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關(guān)系嗎？
并利用上述關(guān)系求出sin75°的值（保留根號(hào)）．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆江蘇省南京市白下區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

（1）如圖①，P為△ABC的邊AB上一點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就稱(chēng)P為△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)．
畫(huà)法初探
①如圖②，在△ABC中，∠ACB＞90°，畫(huà)出△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)P（畫(huà)圖工具不限，保留畫(huà)圖痕跡或有必要的說(shuō)明）；

辯證思考
②是不是所有的三角形都存在它的邊上的相似點(diǎn)？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)找出一個(gè)不存在邊上相似點(diǎn)的三角形；
特例分析
③已知P為△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)，連接PC，若△ACP∽△ABC，則△ABC的形狀是   ；
④如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是邊AB上的相似點(diǎn)，求的值．
（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），作PQ⊥CD，垂足為Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就稱(chēng)PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線(xiàn)．

①類(lèi)比（1）中的“畫(huà)法初探”，可以提出問(wèn)題：對(duì)于如圖④的矩形ABCD，在不限制畫(huà)圖工具的前提下，如何畫(huà)出它的邊AB、CD上的相似線(xiàn)PQ呢？
你的解答是：   （只需描述PQ的畫(huà)法，不需在圖上畫(huà)出PQ）．
②請(qǐng)繼續(xù)類(lèi)比（1）中的“辯證思考”、“特例分析”兩個(gè)欄目對(duì)矩形的相似線(xiàn)進(jìn)行研究，要求每個(gè)欄目提出一個(gè)問(wèn)題并解決．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇省南京市白下區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（1）如圖①，P為△ABC的邊AB上一點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就稱(chēng)P為△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)．

畫(huà)法初探

①如圖②，在△ABC中，∠ACB＞90°，畫(huà)出△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)P（畫(huà)圖工具不限，保留畫(huà)圖痕跡或有必要的說(shuō)明）；

辯證思考

②是不是所有的三角形都存在它的邊上的相似點(diǎn)？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)找出一個(gè)不存在邊上相似點(diǎn)的三角形；

特例分析

③已知P為△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)，連接PC，若△ACP∽△ABC，則△ABC的形狀是   ；

④如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是邊AB上的相似點(diǎn)，求的值．

（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），作PQ⊥CD，垂足為Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就稱(chēng)PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線(xiàn)．

①類(lèi)比（1）中的“畫(huà)法初探”，可以提出問(wèn)題：對(duì)于如圖④的矩形ABCD，在不限制畫(huà)圖工具的前提下，如何畫(huà)出它的邊AB、CD上的相似線(xiàn)PQ呢？

你的解答是：   （只需描述PQ的畫(huà)法，不需在圖上畫(huà)出PQ）．

②請(qǐng)繼續(xù)類(lèi)比（1）中的“辯證思考”、“特例分析”兩個(gè)欄目對(duì)矩形的相似線(xiàn)進(jìn)行研究，要求每個(gè)欄目提出一個(gè)問(wèn)題并解決．

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）如圖①，P為△ABC的邊AB上一點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就稱(chēng)P為△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)．

         畫(huà)法初探

①如圖②，在△ABC中，∠ACB＞90°，畫(huà)出△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)P（畫(huà)圖工具不限，保留畫(huà)圖痕跡或有必要的說(shuō)明）；

 


辯證思考

②是不是所有的三角形都存在它的邊上的相似點(diǎn)？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)找出一個(gè)不存在邊上相似點(diǎn)的三角形；

特例分析

③已知P為△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)，連接PC，若△ACP∽△ABC，則△ABC的形狀是  ▲  ；

④如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是邊AB上的相似點(diǎn)，求的值．

（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），作PQ⊥CD，垂足為Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就稱(chēng)PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線(xiàn)．

     ①類(lèi)比（1）中的“畫(huà)法初探”，可以提出問(wèn)題：對(duì)于如圖④的矩形ABCD，在不限制畫(huà)圖工具的前提下，如何畫(huà)出它的邊AB、CD上的相似線(xiàn)PQ呢？

       你的解答是：  ▲  （只需描述PQ的畫(huà)法，不需在圖上畫(huà)出PQ）．

        ②請(qǐng)繼續(xù)類(lèi)比（1）中的“辯證思考”、“特例分析”兩個(gè)欄目對(duì)矩形的相似線(xiàn)進(jìn)行研究，要求每個(gè)欄目提出一個(gè)問(wèn)題并解決．

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