Question

（1）如圖①，P為△ABC的邊AB上一點（P不與點A、點B重合），連接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就稱P為△ABC的邊AB上的相似點．

畫法初探

①如圖②，在△ABC中，∠ACB＞90°，畫出△ABC的邊AB上的相似點P（畫圖工具不限，保留畫圖痕跡或有必要的說明）；

辯證思考

②是不是所有的三角形都存在它的邊上的相似點？如果是，請說明理由；如果不是，請找出一個不存在邊上相似點的三角形；

特例分析

③已知P為△ABC的邊AB上的相似點，連接PC，若△ACP∽△ABC，則△ABC的形狀是   ；

④如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是邊AB上的相似點，求的值．

（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的點（P不與點A、點B重合），作PQ⊥CD，垂足為Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就稱PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線．

①類比（1）中的“畫法初探”，可以提出問題：對于如圖④的矩形ABCD，在不限制畫圖工具的前提下，如何畫出它的邊AB、CD上的相似線PQ呢？

你的解答是：   （只需描述PQ的畫法，不需在圖上畫出PQ）．

②請繼續(xù)類比（1）中的“辯證思考”、“特例分析”兩個欄目對矩形的相似線進行研究，要求每個欄目提出一個問題并解決．

 

Answer 1

【答案】

（1）①在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A，在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，則P為△ABC的自相似點；②不是，如正三角形；③直角三角形；④；（2）①在距離A點b2a處取點P，作PQ⊥CD，垂足為Q；②辯證思考：問題：是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線？如果是，請說明理由；如果不是，請找出一個不存在邊上相似線的矩形．解答：不是，如正方形．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)“自相似點”的定義結(jié)合相似三角形的判定方法求解即可；

②根據(jù)“自相似點”的定義結(jié)合相似三角形的判定方法即可作出判斷；

③根據(jù)“自相似點”的定義結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可作出判斷；

④先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠B、∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)P是△ABC邊AB上的相似點可證得△CBP∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

（2）①在距離A點處取點P，作PQ⊥CD，垂足為Q；

②答案不唯一，合理即可.

（1）①在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A，

在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，

則P為△ABC的自相似點；

②不是，如正三角形．

③直角三角形．

④∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠B＝∠ACB＝72°．

∵P是△ABC邊AB上的相似點．

∴△CBP∽△ABC．

∴∠BCP＝∠A＝36°，且．

∴∠ACP＝36°＝∠A，∠B＝∠BPC．

∴AP＝CP＝BC．

設BP＝x，AP＝CP＝BC＝y(tǒng)，有＝．

化簡，得x²＋xy－y²＝0．

舍去負根，得＝，即＝；

（2）①在距離A點處取點P，作PQ⊥CD，垂足為Q；

②辯證思考

問題：是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線？如果是，請說明理由；如果不是，請找出一個不存在邊上相似線的矩形．

解答：不是，如正方形．

特例分析

答案不唯一，以下答案供參考：

i）問題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，且矩形PQCB∽矩形ABCD，a、b之間有何數(shù)量關系？

解答：a＝2b．

ii）問題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，且P 是AB的中點，a、b之間有何數(shù)量關系？

解答：a＝2b．

iii）問題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，當a＝2，b＝1時，求AP．

解答：AP＝12． 

iv）問題：已知矩形ABCD為黃金矩形（即＝），PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，求．

解答：＝．

考點：相似三角形的綜合題

點評：此類問題是初中數(shù)學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.