如圖,在正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個(gè)點(diǎn),若這2008個(gè)點(diǎn)連同正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線,則該正六邊形被這些點(diǎn)分成互不重合的三角形共    個(gè).
【答案】分析:先求出點(diǎn)的個(gè)數(shù),進(jìn)一步求出互不重合的三角形的個(gè)數(shù).
解答:解:∵正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個(gè)點(diǎn),這2008個(gè)點(diǎn)連同正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線,
∴共有2008+6=2014個(gè)點(diǎn).
∵在正六邊形內(nèi)放入1個(gè)點(diǎn)時(shí),該正六邊形被這個(gè)點(diǎn)分成互不重合的三角形共6個(gè);即當(dāng)n=1時(shí),有6個(gè);然后出現(xiàn)第2個(gè)點(diǎn)時(shí),這個(gè)點(diǎn)必然存在于開始的6個(gè)中的某一個(gè)三角形內(nèi),然后此點(diǎn)將那個(gè)三角形又分成3個(gè)三角形,三角形數(shù)量便增加2個(gè);又出現(xiàn)第3個(gè)點(diǎn)時(shí),同理,必然出現(xiàn)在某個(gè)已存在的三角形內(nèi),然后又將此三角形1分為3,增加2個(gè)…,
∴內(nèi)部的點(diǎn)每增加1個(gè),三角形個(gè)數(shù)便增加2個(gè).
于是我們得到一個(gè)等差數(shù)列:存在n個(gè)點(diǎn)時(shí),三角形數(shù)目an=a1+(n-1)d=6+2(n-1)=2n+4(n≥1).
由題干知,2008個(gè)點(diǎn)的總數(shù)為a2008=2×2008+4=4020(個(gè)).
點(diǎn)評(píng):本題是等差數(shù)列的應(yīng)用,找到點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵.
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如圖,在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部,以AB為邊作正方形ABMN,連接MC,則∠BCM的度數(shù)為________.

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如圖,在正六邊形ABCDEF與正六邊形

∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于120°

∴∠A=∠A′,         ,         ,

          ,         ,         ;

又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA

   =                        ;

=                            '

  ∴正六邊形ABCDEF∽正六邊形

 

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如圖,在正六邊形ABCDEF與正六邊形

∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于120°
∴∠A=∠A′,         ,        ,
,         ,         ;
又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA
=                        ;
=                            '
∴正六邊形ABCDEF∽正六邊形

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如圖,在正六邊形ABCDEF與正六邊形

∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于120°

∴∠A=∠A′,          ,         ,

           ,          ,          ;

又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA

   =                         ;

=                             '

  ∴正六邊形ABCDEF∽正六邊形

 

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如圖,在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部,以AB為邊作正方形ABMN,連接MC,則∠BCM的度數(shù)為(    )。

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