Question

如圖，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，⊙O的弦AB所在的直線與⊙P相切于點(diǎn)C，PF為⊙O的直徑，設(shè)⊙O與⊙P的半徑分別為R和r．
（1）求證：△PCB∽△PAF；
（2）求證：PA•PB=2Rr；
（3）若點(diǎn)D是兩圓的一個(gè)交點(diǎn)，連接AD交⊙P于點(diǎn)E，當(dāng)R=3r，PA=6，PB=3時(shí)，求⊙P的弦DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)知∠PCB=90°、直徑所對(duì)的圓周角∠PAF=90°，∠PBC=∠F，易得△PCB∽△PAF；
（2）由（1）所得結(jié)論P(yáng)A•PB=PC•PF即PA•PB=2Rr；
（3）求⊙P的弦DE的長(zhǎng)是一個(gè)較復(fù)雜的問題，可先作出弦DE的弦心距PH．通過解直角三角形來求．

解答：（1）證明：∵AC切⊙P于C，PF為⊙O的直徑，
∴∠PCB=∠PAF=90°，
又∵∠CBP=∠F，
∴△PCB∽△PAF．
　　
（2）證明：∵△PCB∽△PAF，
∴

PC

PB

=

PA

PF

，
∴PA•PB=PC•PF=2Rr；

（3）解：連接PD，過點(diǎn)P作PH⊥DE于H．
∵∠PCB=∠PHD=90°，∠CBP=∠F=∠HDP，
∴△CBP∽△HDP，
∴

PC

PH

=

PB

PD

．
∴PH•PB=PC•PD．
又∵PC=PD=r，
∴PH•PB=r²，
∴PH=

r2

PB

．
∵PA=6，PB=3，
由（2）知PA•PB=2Rr，
∴r=

3

，R=3

3

．
∴PH=

r2

PB

=

( 3 )2

3

=1．
∴DH=

PD2-PH2

=

3

-1=

2

，
∴DE=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形是判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)．解第（1）、（2）問的解決運(yùn)用了以下知識(shí)：切線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．由此可以看出在兩圓的位置關(guān)系問題中，綜合知識(shí)的運(yùn)用是至關(guān)重要的；第（3）問求弦DE的長(zhǎng)是一個(gè)較復(fù)雜的問題，但還是離不開前面的基本知識(shí)“弦和弦心距親密緊相連”，由此可以看出解決問題的基本模式是相當(dāng)重要的．