Question

8、如圖，在正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個點(diǎn)，若這2008個點(diǎn)連同正六邊形的六個頂點(diǎn)無三點(diǎn)共線，則該正六邊形被這些點(diǎn)分成互不重合的三角形共

4020

個．

Answer 1

分析：先求出點(diǎn)的個數(shù)，進(jìn)一步求出互不重合的三角形的個數(shù)．

解答：解：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個點(diǎn)，這2008個點(diǎn)連同正六邊形的六個頂點(diǎn)無三點(diǎn)共線，
∴共有2008+6=2014個點(diǎn)．
∵在正六邊形內(nèi)放入1個點(diǎn)時，該正六邊形被這個點(diǎn)分成互不重合的三角形共6個；即當(dāng)n=1時，有6個；然后出現(xiàn)第2個點(diǎn)時，這個點(diǎn)必然存在于開始的6個中的某一個三角形內(nèi)，然后此點(diǎn)將那個三角形又分成3個三角形，三角形數(shù)量便增加2個；又出現(xiàn)第3個點(diǎn)時，同理，必然出現(xiàn)在某個已存在的三角形內(nèi)，然后又將此三角形1分為3，增加2個…，
∴內(nèi)部的點(diǎn)每增加1個，三角形個數(shù)便增加2個．
于是我們得到一個等差數(shù)列：存在n個點(diǎn)時，三角形數(shù)目a_n=a₁+（n-1）d=6+2（n-1）=2n+4（n≥1）．
由題干知，2008個點(diǎn)的總數(shù)為a₂₀₀₈=2×2008+4=4020（個）．

點(diǎn)評：本題是等差數(shù)列的應(yīng)用，找到點(diǎn)的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．