Question

已知，如圖，二次函數(shù)y=ax²+2ax-3a（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：對(duì)稱(chēng)．
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；
（2）求二次函數(shù)解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出方程ax²+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)；把A的坐標(biāo)代入直線l即可判斷A是否在直線上；
（2）根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l：對(duì)稱(chēng)，得出AH=AB=4，過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，求出AC和HC的長(zhǎng)，得出頂點(diǎn)H的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，求出a，即可得到二次函數(shù)解析式；
（3）解方程組，即可求出K的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱(chēng)，得出HN+MN的最小值是MB，過(guò)點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
解答：解：（1）依題意，得ax²+2ax-3a=0（a≠0），
兩邊都除以a得：
即x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
答：A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-3，0），（1，0）．

證明：∵直線l：，
當(dāng)x=-3時(shí)，，
∴點(diǎn)A在直線l上．

（2）∵點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l：對(duì)稱(chēng)，
∴AH=AB=4，
過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，
則，，
∴頂點(diǎn)，
代入二次函數(shù)解析式，解得，
∴二次函數(shù)解析式為，
答：二次函數(shù)解析式為．

（3）直線AH的解析式為，
直線BK的解析式為，
由，
解得，
即，
則BK=4，
∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱(chēng)，K（3，2），
∴HN+MN的最小值是MB，，
過(guò)K作KD⊥x軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，，
則QM=MK，，AE⊥QK，
∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB===8，
∴HN+NM+MK的最小值為8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾股定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．