(2013•閘北區(qū)一模)已知:如圖,二次函數(shù)y=
2
3
x2-
4
3
x-
16
3
的圖象與x軸交于點A、B(點A在點B的左側(cè)),拋物線的頂點為Q,直線QB與y軸交于點E.
(1)求點E的坐標;
(2)在x軸上方找一點C,使以點C、O、B為頂點的三角形與△BOE相似,請直接寫出點C的坐標.
分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式求得點B的坐標;設(shè)直線BQ:y=kx+b(k≠0).則把B、Q的坐標代入該解析式列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組,通過解方程組即可求得它們的值;最后令x=0,則y=-8,即E(0,-8);
(2)需要分類討論:①如圖1,若∠COB=∠EOB=90°;②如圖1,若∠CBO=∠EOB=90°;③如圖2,若∠OCB=∠BOE=90°.由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得相關(guān)線段的長度.
解答:解:(1)令y=0,得
2
3
x2-
4
3
x-
16
3
=0
,
解方程,得
x1=-2,x2=4,
∵點A在點B的左側(cè),
∴B(4,0)
y=
2
3
(x-1)2-6
,
∴Q(1,-6).
設(shè)直線BQ:y=kx+b(k≠0).則把B、Q的坐標代入,得
4k+b=0
k+b=-6

解得
k=2
b=-8
,
∴直線BQ的解析式是:y=2x-8,
∴E(0,-8);

(2)由(1)知,B(4,0),E(0,-8),則OE=8,OB=4.
①如圖1,若∠COB=∠EOB=90°.
當△BOC∽△BOE時,
BO
BO
=
OC
OE
=1,即OC=OE=8,則C1(0,8);
當△COB∽△BOE時,
BO
EO
=
CO
BO
,即
4
8
=
CO
4
,則CO=2,故C2(0,2);
②如圖1,若∠CBO=∠EOB=90°.
當△CBO∽△BOE時,
CB
BO
=
BO
OE
,即
CB
4
=
4
8
,解得,CB=2,故C3(4,2);
當△OBC∽△BOE時,
OB
BO
=
BC
OE
=1,即BC=OE=8,故C4(4,8);
③如圖2,若∠OCB=∠BOE=90°,設(shè)C(x,y).
△OCB∽△BOE時,
OC
BO
=
CB
OE
,即
OC
4
=
CB
8
,或
OC
CB
=
1
2
  ①.
∵直角△BOC中,根據(jù)勾股定理知OC2+BC2=OB2=16,②
∴由①②得,OC=
4
5
5
,BC=
8
5
5

OC•BC=
32
5

1
2
OB•y=
1
2
OC•BC,
∴y=
8
5
,
∴x=
4
5
,即C5
4
5
,
8
5
).
同理,當△BCO∽△BOE時,C6
16
5
,
8
5
).
綜上所述,符合條件的點C的坐標是:
C1(0,8),C2(0,2),C3(4,2),C4(4,8),C5
4
5
8
5
),C6
16
5
,
8
5
).
點評:本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合題.解答(2)題時,要分類討論,以防漏解.
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10
10
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2
3
AO,ON=
1
3
OD,設(shè)
AB
=
a
,
BC
=
b
,試用
a
b
的線性組合表示向量
OM
和向量
MN

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(1)求證:△EOD∽△BOC;
(2)若S△EOD=16,S△BOC=36,求
AEAC
的值.

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45
.點M在AB邊上,AM=2MB,點P是邊AC上的一個動點,設(shè)PA=x.
(1)求底邊BC的長;
(2)若點O是BC的中點,聯(lián)接MP、MO、OP,設(shè)四邊形AMOP的面積是y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并出寫出x的取值范圍;
(3)把△MPA沿著直線MP翻折后得到△MPN,是否可能使△MPN的一條邊(折痕邊PM除外)與AC垂直?若存在,請求出x的值;若不存在,請說明理由.

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