Question

已知：△AOC如圖A（-1，0）、C（0，3），把△AOC 以O(shè)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
90°，使C與B重合
（1）寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)，求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式并畫出圖象；
（2）求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，求證：△BCD是直角三角形；
（3）我們知道△DBC是直角三角形，在拋物線上除D點(diǎn)外，是否還存在另外一個(gè)點(diǎn)P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請(qǐng)用尺規(guī)作圖畫出這樣的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，射線CH交以O(shè)為圓心OC為半徑的圓于G，求HG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)可以得出OB=OC，從而可以得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，在設(shè)出拋物線的解析式運(yùn)用待定系數(shù)法將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出拋物線的解析式，根據(jù)特殊點(diǎn)可以畫出大致圖象．
（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)由勾股定理求出△BCD各邊的長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理就可以判斷出△BCD是直角三角形．
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，斜邊上的中線等于斜邊的一半來(lái)作出圖形就可以．
（4）連接EG，由圓周角定理可以得出∠EGC=90°，得出△COH∽△CGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CG，從而可以求出HG的值．

解答：（1）解：∵點(diǎn)B是由點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，且C（0，3），
∴B（3，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則

0=a-b+c 3=c 0=9a+3b+c

，解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．
∴拋物線的圖象為：

（2）證明：∵y=-x²+2x+3．
∴y=-（x-1）²+4
∴D（1，4），
∴DC²=1+1=2，BC²=9+9=18，BD²=16+4=20
∴DC²+BC²=BD^2，
∴△BCD是直角三角形．

（3）解：如圖：作BC的中垂線交BC于點(diǎn)M，
在以點(diǎn)M 為圓心，MC為半徑畫弧，與拋物線相交于點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P是所求作的點(diǎn)．

（4）解：∵D（1，4），
∴OH=1，
∴由勾股定理得：HC=

10

，連接EG，
∴∠EGC=∠COH=90°，
∴△COH∽△CGE，
∴

CO

CG

=

CH

CE

，
∴

3

CG

=

10

6

，
∴CG=

9

5

10

，
∴HG=

9

5

10

-

10

=

4

5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，圓周角定理的運(yùn)用．