已知:△AOC如圖A(-1,0)、C(0,3),把△AOC 以O點為旋轉(zhuǎn)中心順時針方向旋轉(zhuǎn)
90°,使C與B重合
(1)寫出B點的坐標,求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式并畫出圖象;
(2)求拋物線頂點D的坐標,求證:△BCD是直角三角形;
(3)我們知道△DBC是直角三角形,在拋物線上除D點外,是否還存在另外一個點P,使得△PBC是直角三角形?若存在,請用尺規(guī)作圖畫出這樣的點;若不存在,請說明理由;
(4)設拋物線的對稱軸與x軸交于點H,射線CH交以O為圓心OC為半徑的圓于G,求HG的長.

【答案】分析:(1)由旋轉(zhuǎn)可以得出OB=OC,從而可以得出B點的坐標,在設出拋物線的解析式運用待定系數(shù)法將A、B、C三點的坐標代入解析式就可以求出拋物線的解析式,根據(jù)特殊點可以畫出大致圖象.
(2)根據(jù)點的坐標由勾股定理求出△BCD各邊的長,再由勾股定理的逆定理就可以判斷出△BCD是直角三角形.
(3)根據(jù)直角三角形的性質(zhì),斜邊上的中線等于斜邊的一半來作出圖形就可以.
(4)連接EG,由圓周角定理可以得出∠EGC=90°,得出△COH∽△CGE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CG,從而可以求出HG的值.
解答:(1)解:∵點B是由點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的,且C(0,3),
∴B(3,0).
設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,則,解得
,
∴拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3.
∴拋物線的圖象為:

(2)證明:∵y=-x2+2x+3.
∴y=-(x-1)2+4
∴D(1,4),
∴DC2=1+1=2,BC2=9+9=18,BD2=16+4=20
∴DC2+BC2=BD2,
∴△BCD是直角三角形.

(3)解:如圖:作BC的中垂線交BC于點M,
在以點M 為圓心,MC為半徑畫弧,與拋物線相交于點P,
∴點P是所求作的點.

(4)解:∵D(1,4),
∴OH=1,
∴由勾股定理得:HC=,連接EG,
∴∠EGC=∠COH=90°,
∴△COH∽△CGE,
,
,
∴CG=,
∴HG=-=

點評:本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,直角三角形的性質(zhì),勾股定理的運用,圓周角定理的運用.
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