Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，M是AD 的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AN∥BC交BM的延長線于點(diǎn)N．
（1）求證：△AMN≌△DMB；
（2）求證：四邊形ADCN是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS證明△AMN≌△DMB即可；
（2）利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AN=BD．證出四邊形ADCF是平行四邊形，再由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結(jié)論；

解答 （1）證明：①∵NF∥BC，
∴∠ANM=∠DBM，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，
∴AM=DM，BD=CD，
在△AMN和△DMB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANM=∠DBM}&{\;}\\{∠NMA=∠BMD}&{\;}\\{AM=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△DMB（AAS）；
（2）證明：由（1）知，△AMN≌△DMB，則AN=DB．
∵DB=DC，
∴AN=CD．
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四邊形ADCF是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，菱形的面積計(jì)算；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．