Question

如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與二次函數(shù)的圖象交于y軸上的一點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的另一交點(diǎn)為D，已知P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△PBD為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）（2）P₁（1，0）和P₂（，0）

解：（1）∵交x軸于點(diǎn)A，∴0=0.5x+2，解得x=－4�！郃點(diǎn)坐標(biāo)為：（－4，0）。
∵與y軸交于點(diǎn)B，∴y=2�！郆點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）。
∵二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2
∴可設(shè)二次函數(shù)。
把B（0，2）代入得：a=。
∴二次函數(shù)的解析式為：，即。
（2）①當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過B作BP₁⊥AD交x軸于P₁點(diǎn)，

∵Rt△AOB∽R(shí)t△BOP₁，∴。
∴，解得：OP₁=1。
∴P₁點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），      
②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)作P₂D⊥BD，連接BP₂，

將與2聯(lián)立求出兩函數(shù)另一交點(diǎn)坐標(biāo)：D點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，），則AD=。
由A（－4，0），B（0，2）可得AB=。
∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，
∴△ABO∽△AP₂D�！�。
∴，解得AP₂=。
則OP₂=。
∴P₂點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）。
③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)P₃（a，0），

則由Rt△OBP₃∽R(shí)t△EP₃D得：，
∴。
∵方程無(wú)解，∴點(diǎn)P₃不存在。
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（1，0）和P₂（，0）。
（1）根據(jù)交x軸于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，即可得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2．得出可設(shè)二次函數(shù)，進(jìn)而求出即可。
（2）分點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)三種情況討論，分別利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出即可。