Question

如圖所示，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0），B是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，直線AB交直線y=

1

2

x于點(diǎn)C，矩形ADEF的頂點(diǎn)D、E分別在直線y=

1

2

x和直線AB上，頂點(diǎn)F在x軸上．
（1）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）．
①求直線AB所表示的函數(shù)關(guān)系式；
②求△OAC的面積；
③求矩形ADEF的邊DE與AD的長(zhǎng)；
（2）若矩形ADEF是正方形，求B點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）①用待定系數(shù)法求直線AB的解析式．
②由兩個(gè)直線的解析式組成方程組求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再求出△OAC的面積．
③先通過(guò)A點(diǎn)坐標(biāo)由y=

1

2

x確定D點(diǎn)坐標(biāo)，再確定E點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到矩形的邊長(zhǎng)．
（2）由正方形的性質(zhì)得到∠BAO=45°，得到B點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）①設(shè)直線AB所表示的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b（1分）
∵直線經(jīng)過(guò)A（6，0）、B（0，4）
∴

4=b 0=6k+b

解得

k=- 2 3 b=4

∴直線AB所表示的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

2

3

x+4．（3分）
②由

y= 1 2 x y=- 2 3 x+4

得

x= 24 7 y= 12 7

（5分）
所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為（

24

7

，

12

7

）
所以S△OAC=

1

2

OA•|yc|=

1

2

×6×

12

7

=

36

7

．（6分）
③把x=6代入y=

1

2

x，得y=3（7分）
∴D點(diǎn)有坐標(biāo)為（6，3）
在y=-

2

3

x+4中，令y=3，得x=

3

2

（8分）
所以E點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，3）∴DE=6-

3

2

=

9

2

，AD=3；（9分）

（2）解法一：在正方形ADEF中，∠EAF=45°（10分）
在Rt△OAB中，∠OBA=90°-∠EAF=45°
∴∠EAF=∠OBA（11分）
∴OB=OA=6（12分）
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6）（13分）
解法二：在正方形ADEF中，EF=AF=AD=3
∴OF=OA-AF=6-3=3
所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，3）（10分）
設(shè)直線AE的表達(dá)式為y=mx+n
則解得

m=-1 n=6

所以直線AE為y=-x+6（12分）
在y=-x+6中，令x=0，得y=6
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式；掌握兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，轉(zhuǎn)化為求方程組的解；掌握矩形的性質(zhì)；理解與坐標(biāo)軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．