Question

如圖所示，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，0）以AB為直徑作⊙O′，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接AC、BC，過A、B、C作拋物線
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D，連接BD求BD直線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD的面積是△BCD面積的

1

3

，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△OAC∽△OCB即可求得CO的長(zhǎng)，即可確定C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）連接O'D，求得D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（3）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，交直線CD于M，求得直線CD的解析式，即可求得△BCD的面積，然后根據(jù)P的橫坐標(biāo)的范圍，分情況進(jìn)行討論，即可求得．

解答：解：（1）AB是⊙O'的直徑
∴AC⊥BC
又OC⊥AB
∴△OAC∽△OCB
∴

AO

CO

=

CO

BO

∴CO=

AO•BO

=3
∴C（0，-3）（1分）
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
拋物線過A（-1，0）、B（9，0）和C（0，-3）
∴

a-b+c=0 81a+9b+c=0 c=-3

解得

a= 1 3 b=- 8 3 c=-3

（2分）
所求拋物線解析式為y=

1

3

x2-

8

3

x-3（3分）

（2）連接O'D，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=

1

2

∠DO'B=45°
∴∠DO'B=90°
又DO′=

1

2

AB=5
∴D（4，-5）（1分）
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則

9k+b=0 4k+b=-5

解得

k=1 b=-9

（2分）
直線BD的解析式為y=x-9．（3分）

（3）設(shè)點(diǎn)P（x，

1

3

x2-

8

3

x-3）
過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，交直線CD于M，
易得直線CD的解析式為y=-

1

2

x-3，則M（x，-

1

2

x-3）
易知直線CD與拋物線交點(diǎn)為C（0，-3）和N（

13

2

，-

25

4

）
∵S_△BCD=S_{四邊形ACDB}-S_△ABC
=S_△AOC+S_梯形OCDO'+S_△BO′D-S_△ABC

1×3

2

+

3+5

2

×4+

5×5

2

-

10×3

2

=15（1分）
設(shè)△PCM與△PDM中，邊PM上的高分別為h₁和h₂，則
1當(dāng)0＜x≤42時(shí)，如圖（1）S△PCD=S△CPM+S△DPM=

PM

2

(h1+h2)=

1

2

[(-

1

2

x-3)-(

1

3

x2-

8

3

x-3)]×4=5
即2x²-13x+15=0
解得x1=

3

2

，x₂=5＞4（舍去）
∴P₁（

3

2

，-

25

4

）（2分）
3當(dāng)4＜x＜

13

2

時(shí)，如圖（2）S△PCD=S△CPM-S△DPM=

PM

2

(h1-h2)=

1

2

[(-

1

2

x-3)-(

1

3

x2-

8

3

x-3)]×4=5
即2x²-13x+15=0
解得x1=

3

2

＜4（舍去），x₂=5
∴P₂（5，-8）（3分）
5當(dāng)

13

2

＜x＜96時(shí)，如圖（3）S△PCD=S△CPM-S△DPM=

PM

2

(h1-h2)=

1

2

[(

1

3

x2-

8

3

x-3)-(-

1

2

x-3)]×4=5
即2x²-13x-15=0
解得x1=

15

2

，x₂=-1＜0（舍去）
∴P₃（

15

2

，-

17

4

）
所有求點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（

3

2

，-

25

4

）、P₂（5，-8）或P₃（

15

2

，-

17

4

）（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．