Question

【題目】如圖1，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC邊于點(diǎn)E，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于點(diǎn)D，且∠BDE=∠CBE．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）延長(zhǎng)ED交直線AB于點(diǎn)P，如圖2，若PA=AO，DE=3，DF=2，求的值及AO的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2），AO=．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理可知∠BAE+∠EBA=90°，由∠BAE=∠BDE，∠BDE=∠CBE，所以∠EBA+∠EBC=90°．

（2）易證OD∥DE，從而可知，易證△EDF∽△BDE，DE2=DFDB，從而可求出DB的長(zhǎng)度，由勾股定理可知AB的長(zhǎng)度．

試題解析：解：（1）∵AB是直徑，∴∠BAE+∠EBA=90°．∵∠BAE=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠EBA+∠EBC=90°，∴BC是⊙O的切線；

（2）連接OD．∵BD平分∠ABE，∴∠OBD=∠EBD．∵∠ODB=∠OBD，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥BE．∵PA=AO，∴．∵∠DEF=∠DBA，∴∠DEF=∠EBD．∵∠EDF=∠EDB，∴△EDF∽△BDE，∴，∴DE2=DFDB，∴DB=，∴由勾股定理可知：AB2=AD2+BD2，∴AB=，∴AO=．