Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點四邊形．

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如圖，當四邊形ABCD變成等腰梯形時，它的中點四邊形是菱形，請你探究并填空：

當四邊形ABCD變成平行四邊形時，它的中點四邊形是 ；

當四邊形ABCD變成矩形時，它的中點四邊形是 ；

當四邊形ABCD變成菱形時，它的中點四邊形是 ；

當四邊形ABCD變成正方形時，它的中點四邊形是 ；

（3）根據(jù)以上觀察探究，請你總結(jié)中點四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？

Answer 1

【答案】(1)相等；(2)垂直；(3)見解析.

【解析】

（1）連接BD．利用三角形中位線定理推出所得四邊形對邊平行且相等，故為平行四邊形；

（2）連接AC、BD．根據(jù)三角形的中位線定理，可以得到所得四邊形的兩組對邊分別和原四邊形的對角線平行，且分別等于原四邊形的對角線的一半,再根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定方法進行判定即可

（3）由（2）可知，中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的關(guān)系決定的．

（1）證明：連接BD．

∵E、H分別是AB、AD的中點，

∴EH是△ABD的中位線．

∴EH=BD，EH∥BD．

同理得FG=BD，FG∥BD．

∴EH=FG，EH∥FG．

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）連接AC、BD．根據(jù)三角形的中位線定理，可以得到所得四邊形的兩組對邊分別和原四邊形的對角線平行，且分別等于原四邊形的對角線的一半．

若順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，則所得的四邊形的四條邊都相等，故所得四邊形為菱形；

若順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點，則所得的四邊形的四個角都是直角，故所得四邊形為矩形；

若順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點，則綜合上述兩種情況，故所得的四邊形為正方形；

故答案為：平行四邊形，菱形，矩形，正方形；

（3）中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的關(guān)系決定的．