Question

如圖，拋物線y=-x²+px+q與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且∠ACB=90°，又tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）若平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑長．

Answer 1

解：（1）設A、B兩點橫坐標分別為x₁，x₂，則q=-x₁x₂=（-x₁）x₂=OA•OB，
由題意知，OC是Rt△ABC斜邊AB上的高，由直角三角形中的射影定理得OC²=OA•OB，
故q²=q，
故q=1或q=0，
因此二次函數(shù)的圖象不過原點，
故q=0舍去，取q=1，
由上知x₁•x₂=-1，C的縱坐標為1，
又由tan∠CAO-tan∠CBO=2得變形得，
亦即x₁+x₂=2，
∴p=2，
綜合上述：二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+1，
答：此二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+1．

（2）設M（x₃，r），N（x₄，r），x₃＜x₄，
∴MN=x₄-x₃，
∴r=-x₃²+2x₃+1r=-x₄²+2x₄+1，
故x₃，x₄是方程-x²+2x-r+1=0的兩根，
∴x₃+x₄=2，x₃•x₄=r-1，
∵以MN為直徑的圓與x軸相切，
故，即，
兩邊平方得，
即，
解得r=1或r=2，
答：此圓的半徑長是1或2．
分析：（1）設A、B兩點橫坐標分別為x₁，x₂，得到q=OA•OB，根據直角三角形的射影定理得出OC²=OA•OB，求出q=1，根據tan∠CAO-tan∠CBO=2得求出x₁+x₂=2=p即可；
（2）設M（x₃，r），N（x₄，r），推出MN=x₄-x₃，r=-x₄²+2x₄+1，根據根與系數(shù)的關系得出x₃+x₄=2，x₃•x₄=r-1，根據以MN為直徑的圓與x軸相切，得出方程，求出即可．
點評：本題主要考查對根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，直線與圓的位置關系，銳角三角函數(shù)的定義等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．