(2012•鐵嶺)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是梯形,BC∥AD,∠BAD+∠CDA=90°,且tan∠BAD=2,AD在x軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)(-1,0),點(diǎn)B在y軸的正半軸上,BC=OB.
(1)求過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式;
(2)動點(diǎn)E從點(diǎn)B(不包括點(diǎn)B)出發(fā),沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C停止,在運(yùn)動過程中,過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F,將四邊形ABEF沿直線EF折疊,得到四邊形A1B1EF,點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、B1,設(shè)四邊形A1B1EF與梯形ABCD重合部分的面積為S,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,0).
①當(dāng)點(diǎn)A1落在(1)中的拋物線上時,求S的值;
②在點(diǎn)E運(yùn)動過程中,求S與x的函數(shù)關(guān)系式.
分析:(1)根據(jù)條件先求出B點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法就可以求出過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式.
(2)①根據(jù)拋物線的對稱性可以知道當(dāng)點(diǎn)A1落在拋物線上A1與點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱,重合部分面積就是梯形ABEF的面積.從而求出S的值.
②從0<x≤1和當(dāng)1<x≤2兩種情況分別把點(diǎn)E在運(yùn)動的過程中重疊部分的面積表示出來,當(dāng)0<x≤1時重疊部分的面積就是梯形ABEF的面積,當(dāng)1<x≤2時,重疊部分的面積就是一個五邊形的面積.就是一個梯形的面積減去一個三角形
的面積就可以了.
解答:解:(1)∵點(diǎn)A坐標(biāo)是(-1,0),
∴OA=1,
在△ABO中∠AOB=90°tanA=
OB
OA
=2,
∴OB=2.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,2).
∵BC∥AD,BC=OB,
∴BC=2,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2).
設(shè)拋物線表達(dá)式為y=ax2+bx+2,由題意,得
0=a-b+2
2=4a+2b+2

∴解得
a=-
2
3
b=
4
3

∴y=-
2
3
x2+
4
3
x+2.

(2)①當(dāng)點(diǎn)A1落在拋物線上,根據(jù)拋物線的軸對稱性可得A1與點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱,
由沿直線EF折疊,所以點(diǎn)E是BC上一個點(diǎn),
重合部分面積就是梯形ABEF的面積.
∴S=S梯形ABEF=
1
2
(BE+AF)×BO=2+1=3;
②當(dāng)0<x≤1時,重合部分面積就是梯形ABEF的面積,
由題得AF=x+1,BE=x,
S=S梯形ABEF=
1
2
(BE+AF)×BO=2x+1.
當(dāng)1<x≤2時,重合部分面積就是五邊形A1NCEF的面積,
設(shè)A1B1交CD于點(diǎn)N,作MN⊥DF于點(diǎn)M,CK⊥AD于點(diǎn)K,
∴∠CKD=∠NMD=90°
由軸對稱得:∠1=∠2,
∵∠2+∠3=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∠3+∠MND=90°
∴∠MND=∠1
△NMA1∽△DMN,
MA1
NM
=
NM
MD

∵∠BAO=∠MA1N,tan∠BAO=2,
∴tan∠MA1N=2=
MN
A1M

∴2MA1=MN,MD=2MN.
∴MD=4MA1,
∴DA1=3MA1
∵tan∠BAO=2,∠BAO+∠CDK=90°,
∴tan∠CDK=
1
2

在△DCK中,∠CKD=90°,CK=OB=2,
tan∠CDK=
CK
DK
=
1
2
,
∴DK=4,OD=6.
∵OF=x,A1F=x+1,
∴A1D=OD-OF-A1F=5-2x,F(xiàn)D=6-x.
∴3MA1=5-2x,
∴MA1=
1
3
(5-2x)
∵2MA1=MN
∴MN=
2
3
(5-2x).
∴S=S梯形DCEF-S△A1ND=8-2x-
1
3
(5-2x)2=-
4
3
x2+
14
3
x-
1
3
點(diǎn)評:本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,梯形的面積公式,動點(diǎn)問題在函數(shù)解析式中的運(yùn)用.相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用.
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(-2,1)
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(
1
5
)
n-1
S或
S
5n-1
(
1
5
)
n-1
S或
S
5n-1

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3
,求圖中陰影部分的面積.

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(3)點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā),沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時間為t秒,是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若能,請直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動時間t的值;若不能,請說明理由.

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