Question

如圖，已知直線y=x+k和雙曲線y=（k為正整數(shù)）交于A，B兩點．

（1）當(dāng)k=1時，求A、B兩點的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)k=2時，求△AOB的面積；

（3）當(dāng)k=1時，△OAB的面積記為S₁，當(dāng)k=2時，△OAB的面積記為S₂，…，依此類推，當(dāng)k=n時，△OAB的面積記為S_n，若S₁+S₂+…+S_n=，求n的值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)k=1時，直線y=x+k和雙曲線y=化為：y=x+1和y=，

解得，，

∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），

（2）當(dāng)k=2時，直線y=x+k和雙曲線y=化為：y=x+2和y=，

解得，，

∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）

設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，

∴

∴，

∴直線AB的解析式為：y=x+2

∴直線AB與y軸的交點（0，2），

∴S_△AOB=×2×1+×2×3=4；

（3）當(dāng)k=1時，S₁=×1×（1+2）=，

當(dāng)k=2時，S₂=×2×（1+3）=4，

…

當(dāng)k=n時，S_n=n（1+n+1）=n²+n，

∵S₁+S₂+…+S_n=，

∴×（…+n²）+（1+2+3+…n）=，

整理得：，

解得：n=6．