Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求△AEF面積最大為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,勾股定理

專題：

分析：首先設(shè)BE=x，則AE=6-x，由在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，利用勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的定義即可求得cos∠B=

AB

BC

=

3

5

，cos∠C=

AC

AB

=

4

5

，繼而可求得BP，CE的長(zhǎng)，則由S_△AEF=

1

2

AE•AF=

1

2

（6-x）•

4

3

x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△AEF面積最大值．

解答：解：設(shè)BE=x，則AE=6-x，
∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=

AB2+AC2

=10，
∴cos∠B=

AB

BC

=

3

5

，cos∠C=

AC

AB

=

4

5

，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴在Rt△BPE中，BP=

BE

cos∠B

=

x

3 5

=

5

3

x，
∴CP=BC-BP=10-

5

3

x，
在Rt△CPF中，CF=CP•cos∠C=

4

5

（10-

5

3

x）=8-

4

3

x，
∴AF=AC-CF=8-（8-

4

3

x）=

4

3

x，
∴S_△AEF=

1

2

AE•AF=

1

2

（6-x）•

4

3

x=-

2

3

（x²-6x）=-

2

3

（x-3）²+6，
∴△AEF面積最大為6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義及應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．