Question

如圖1，已知雙曲線y=

a

x

(a＞0)與直線y=kx交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．試解答下列問題：

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（-4，-2）

；若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為

（-m，-km）或（-m，-

a

m

）

；
（2）如圖2，過原點(diǎn)O作另一條直線l交雙曲線y=

a

x

于B，D兩點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限．設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為m，n．
①四邊形ABCD可能是矩形嗎？若可能，直接寫出m，n應(yīng)滿足的條件；若不可能，請說明理由．
②四邊形ABCD可能是正方形嗎？若可能，直接寫出m，n應(yīng)滿足的條件；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱可知，A、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；把A點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)或反比例函數(shù)解析式可得出其縱坐標(biāo)，再根據(jù)A、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①先根據(jù)A、C兩點(diǎn)B、D兩點(diǎn)均關(guān)于原點(diǎn)對稱，可知OB=OD，OA=OC，故四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)OA=OB是四邊形ABCD是矩形，此時(shí)mn=a；
②若AC⊥BD則四邊形ABCD是正方形，此時(shí)點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，由于點(diǎn)A，B不可能達(dá)到坐標(biāo)軸故不可能是正方形．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴A、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵A（4，2），
∴C（-4，-2）；
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，
∴A（m，km）或（m，

a

m

），
∴C（-m，-km）或（-m，-

a

m

）．
故答案為：（-4，-2）； （-m，-km）或（-m，-

a

m

）；

（2）①四邊形ABCD可能是矩形．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D均關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OB=OD，OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
當(dāng)OA=OB時(shí)四邊形ABCD是矩形，此時(shí)mn=a                  
∴m，n應(yīng)滿足的條件是m•n=a；
②四邊形ABCD不可能是正方形．                  
理由：當(dāng)AC⊥BD時(shí)四邊形ABCD是正方形，此時(shí)點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，由于點(diǎn)A，B不可能達(dá)到坐標(biāo)軸故不可能是正方形，即∠BOA≠90°．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．