Question

如圖1，已知雙曲線y=

k

x

(k＞0)與直線y=k′x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為

 

；
（2）如圖2，過原點(diǎn)O作另一條直線l，交雙曲線y=

k

x

(k＞0)于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限．
①說明四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②設(shè)點(diǎn)A，P的橫坐標(biāo)分別為m，n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？若可能，直接寫出m，n應(yīng)滿足的條件；若不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖象性質(zhì)可知，點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由此可以求出A可求B坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)勾股定理或?qū)ΨQ性易知OA=OB，OP=OQ因此四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可以推出它們的可能性．

解答：解：（1）∵雙曲線和直線y=k'x都是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，它們交于A，B兩點(diǎn)，
∴B的坐標(biāo)為（-4，-2），
（-m，-k'm）或（-m，-

k

m

）；

（2）①由勾股定理OA=

m2+(k′m)2

，
OB=

(-m)2+(-k′m)2

=

m2+(k′m)2

，
∴OA=OB．
同理可得OP=OQ，
所以四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②四邊形APBQ可能是矩形，
此時(shí)m，n應(yīng)滿足的條件是mn=k；
四邊形APBQ不可能是正方形（1分）
理由：點(diǎn)A，P不可能達(dá)到坐標(biāo)軸，即∠POA≠90°．

點(diǎn)評(píng)：此題難度中等，它考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，矩形和正方形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)．