Question

已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點，DE與CF交于點G．（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．則       （填“<”或“=”或“>”）；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：
當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時，使得=成立？并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，若BA="BC=" 3，DA="DC=" 4，∠BAD= 90°，DE⊥CF．則的值為        ．

圖1                     圖2                     圖3

Answer 1

（1）=；（2）∠B=∠EGC；（3）.

解析試題分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，證出△AED∽△DFC即可； 
（2）當(dāng)∠B+∠EGC=180°時，成立，證△DFG∽△DEA，得出，證△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案； 
（3）過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設(shè)CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，證△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出，代入得出方程，求出CN=，證出△AED∽△NFC，即可得出答案． 
試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴，即=.
（2）當(dāng)∠B+∠EGC=180°時，=成立．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴，
∴，
∴，
即當(dāng)∠B+∠EGC=180°時，成立．
（3）解：．
理由是：過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設(shè)CN=x，
∵AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四邊形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，
∵在△BAD和△BCD中

∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠CBM=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴，
∴
∴
在Rt△CMB中，，BM=AM﹣AB=x﹣6，由勾股定理得：，
∴，
解得 x=0（舍去），x=
∴CN=，
∵∠A=∠FGD=90°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，
∴

考點: 相似三角形綜合題.