Question

為扶持大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，市政府提供了80萬元無息貸款，用于大學(xué)生開辦公司，生產(chǎn)并銷售自主研發(fā)的一種電子產(chǎn)品，并約定用該公司經(jīng)營的利潤(rùn)償逐步還無息貸款．已知該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件40元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其它費(fèi)用15萬元．該產(chǎn)品每月銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求月銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該公司有80名員工，問產(chǎn)品的單價(jià)定為多少時(shí)，該公司獲得月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
（3）則該公司最早可在幾個(gè)月后還清無息貸款？（利潤(rùn)=銷售額-生產(chǎn)成本-員工工資-其它費(fèi)用）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象，分兩種情況列出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中一次函數(shù)，列出關(guān)于利潤(rùn)的二次函數(shù)，然后求最值；
（3）公司若還清無息貸款，則10m≥80，解出m的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，設(shè)y=k₁x+b₁，
則

40k1+b1=4 60k1+b1=2

，解得

k1=- 1 10 b1=8

，
∴y=-

1

10

x+8．
當(dāng)60＜x≤80時(shí)，

60k2+b2=2 80k2+b2=1

，解得

k1=- 1 20 b1=5

，
∴y=-

1

20

x+5，
∴

y=- 1 10 x+8(40≤x≤60) y=- 1 20 x+5(60＜x≤80)

；
（2）設(shè)公司所獲利潤(rùn)為W萬元，當(dāng)40≤x≤60時(shí)，
W=（-

1

10

x+8）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

10

x²+12x-355，
即W=-

1

10

（x-60）²+5，
∴x=60，W_最大=5萬元；
當(dāng)60＜x≤80時(shí)，
W=（-

1

20

x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

20

x²+7x-235，
即W=-

1

20

（x-70）²+10，
∴x=70，W_最大=10萬元；
∴當(dāng)單價(jià)為70元時(shí)，獲得最大月利潤(rùn)為10萬元．
（3）要盡早還清貸款，公司獲得最大月利潤(rùn)，
設(shè)m個(gè)月后該公司可還清貸款，則10m≥80，解得，m≥8，所以，該公司最早可在8個(gè)月后還清貸款．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤(rùn)的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案，本題要注意一次函數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合．