Question

13．路在山腹行是滬蓉西高速公路的顯著特點(diǎn)之一，全線共有隧道37座，共計(jì)長(zhǎng)達(dá)742421.2米．正在修建的廟埡隧道的截面是由一拋物線和一矩形構(gòu)成，其行車道CD總寬度為8米，隧道為單行線車道，即左右各5米寬的車道．
（1）建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出隧道拱拋物線的解析式；
（2）在隧道拱兩側(cè)距地面3米高處各安裝一盞燈，在（1）的平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示其中一盞燈的位置；
（3）為保證行車安全，要求行駛車輛頂部（假設(shè)為平頂）與隧道拱在豎直方向上高度之差至少有0.5米，現(xiàn)有一輛汽車，裝載貨物后，其寬度為4米，車載貨物的頂部與路面的距離為2.5米，該車能否安全通過這個(gè)隧道？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）以EF所在直線為x軸，經(jīng)過H且垂直于EF的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法將E、F、H三點(diǎn)坐標(biāo)代入求得；
（2）在隧道拱兩側(cè)距地面3米高處各安裝一盞燈，即y=1，可求得坐標(biāo)；
（3）隧道為單行線左右各5米寬的車道，故可求x=4時(shí)y的值比較可知．

解答 解：（1）如圖，

若以EF所在直線為x軸，經(jīng)過H且垂直于EF的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則E（-5，0），F(xiàn)（5，0），H（0，3）
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c
依題意有：
$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b+c=0}\\{25a-5b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{25}}\\{b=0}\\{c=3}\end{array}\right.$．
所以y=-$\frac{3}{25}$x²+3；
（2）在隧道拱兩側(cè)距地面3米高處各安裝一盞燈，即y=1，
則有-$\frac{3}{25}$x²+3=1，解得：x=$±\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
故路燈的位置為（$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，1）或（-$-\frac{5\sqrt{6}}{3}$，1）；
（3）當(dāng)x=4時(shí)，y=$-\frac{3}{25}$×4²+3=1.08，
點(diǎn)到地面的距離為1.08+2=3.08
因?yàn)?.08-0.5=2.58＞2.5，所以能通過．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，在解題時(shí)要根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)所給的知識(shí)點(diǎn)求出答案是本題的關(guān)鍵．