Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過M(1，0)和N(3，0)兩點，且與y軸交于D(0，3)，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求該拋物線的解析式．

(2)若過點A(－1，0)的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．

(3)點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過M(1，0)和N(3，0)兩點，且與y軸交于D(0，3)， 　　∴假設(shè)二次函數(shù)解析式為：y＝a(x－1)(x－3)， 　　將D(0，3)，代入y＝a(x－1)(x－3)，得： 　　3＝3a， 　　∴a＝1， 　　∴拋物線的解析式為：y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3； 　　(2)∵過點A(－1，0)的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6， 　　∴AC×BC＝6， 　　∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過M(1，0)和N(3，0)兩點， 　　∴二次函數(shù)對稱軸為x＝2， 　　∴AC＝3， 　　∴BC＝4， 　　∴B點坐標(biāo)為：(2，4)， 　　一次函數(shù)解析式為；y＝kx＋b， 　　∴， 　　解得：， 　　y＝x＋； 　　(3)∵當(dāng)點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切， 　　∴MO⊥AB，AM＝AC，PM＝PC， 　　∵AC＝1＋2＝3，BC＝4， 　　∴AB＝5，AM＝3， 　　∴BM＝2， 　　∵∠MBP＝∠ABC， 　　∠BMP＝∠ACB， 　　∴△ABC∽△CBM， 　　∴， 　　∴， 　　∴PC＝1.5， 　　P點坐標(biāo)為：(2，1.5)． 　　分析：(1)根據(jù)圖象經(jīng)過M(1，0)和N(3，0)兩點，且與y軸交于D(0，3)，可利用交點式求出二次函數(shù)解析式； 　　(2)根據(jù)直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，得出AC，BC的長，得出B點的坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式； 　　(3)利用三角形相似求出△ABC∽△CBM，得出，即可求出圓的半徑，即可得出P點的坐標(biāo)． 　　點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點也是難點同學(xué)們應(yīng)重點掌握．