Question

點P是x軸正半軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線PA交雙曲線于點A，連接OA并延長，與雙曲線交于點F，FH垂直于x軸，垂足為點H，連接AH、PF．

（1）如圖①，當點A的橫坐標為時，求四邊形APFH的面積．
（2）如圖②，當點P在x軸的正方向上運動到點D，過點D作x軸的垂線交雙曲線于點B，連接BO并延長，與雙曲線交于點F，FH垂直于x軸，垂足為點H，連接BH、DF，求四邊形BDFH的面積．
（3）若雙曲線的解析式為，四邊形BDFH的面積為______．（直接寫出答案）

Answer 1

解：（1）如圖①，根據反比例函數圖象的性質知道A、F關于原點對稱，
而FH垂直于x軸，AP⊥x軸，
∴H、P關于原點對稱，
∴四邊形APFH的面積是△APO的四倍，
設A的坐標為（x，y）（x＞0，y＞0），
則xy=1，
而△APO的面積=xy=，
∴四邊形APFH的面積是4×=2；

（2）如圖②，當點P在x軸的正方向上運動到點D，過點D作x軸的垂線交雙曲線于點B，連接BO并延長，與雙曲線交于點F，FH垂直于x軸，垂足為點H，連接BH、DF，
那么同樣得B、F關于原點對稱，D、H 關于原點對稱，
∴四邊形BDFH的面積是△OBD的面積的4倍，
而△OBD的面積同樣為，
∴四邊形BDFH的面積是2；

（3）若雙曲線的解析式為，四邊形BDFH的面積為2|k|．
故答案為：2|k|．
分析：（1）如圖①，根據反比例函數圖象的性質知道A、F關于原點對稱，而FH垂直于x軸，AP⊥x軸，由此得到H、P關于原點對稱，這樣就可以得到四邊形APFH的面積是△APO的四倍，而△APO的面積為反比例函數比例系數的絕對值的一半，由此即可解決問題；
（2）思路和（1）完全一樣；
（3）思路和（1）完全一樣．
點評：此題主要考查了反比例函數圖象和性質，解題的關鍵 是利用函數圖象的性質求出三角形的面積，然后利用三角形和四邊形的關系求出四邊形的面積解決問題．