Question

如圖，已知拋物線過點A（0，6），B（2，0），C（7，）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若D是拋物線的頂點，E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點，F(xiàn)與E關(guān)于D對稱，求證：∠CFE=∠AFE；
（3）在y軸上是否存在這樣的點P，使△AFP與△FDC相似？若有請求出所有符和條件的點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C三點坐標代入，列方程組求拋物線解析式；
（2）求直線AC的解析式，確定E點坐標，根據(jù)對稱性求F點坐標，分別求直線AF，CF的解析式，確定兩直線與x軸的交點坐標，判斷兩個交點關(guān)于拋物線對稱軸對稱即可；
（3）存在．由∠CFE=∠AFE=∠FAP，△AFP與△FDC相似時，頂點A與頂點F對應，根據(jù)△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，兩種情況求P點坐標．
解答：（1）解：設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C三點坐標代入，得
，
解得，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+6；

（2）證明：設直線AC的解析式y(tǒng)=mx+n，
將A、C兩點坐標代入，得，
解得，
∴y=-x+6，
∵y=x²-4x+6=（x-4）²-2，
∴D（4，-2），E（4，4），
∵F與E關(guān)于D對稱，
∴F（4，-8），則直線AF的解析式為y=-x+6，CF的解析式為y=x-22，
∴直線AF，CF與x軸的交點坐標分別為（，0），（，0），
∵4-=-4，
∴兩個交點關(guān)于拋物線對稱軸x=4對稱，
∴∠CFE=∠AFE；

（3）解：存在．
設P（0，d），則AP=|6-d|，AF==2，
FD=-2-（-8）=6，CF==，
∵∠PAF=∠CFD，
∴點P位于點A的下方，
當△AFP∽△FDC時，=，即=，解得d=（舍去）或-，
當△AFP∽△FCD時，=，即=，解得d=-2或14（舍去），
∴P點坐標為（0，-）或（0，-2）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，相似三角形的知識解題．