試題分析:(1)過點D作DF⊥x軸于點F,由拋物線的對稱性可知OF=AF,則2AF+AE=4①,由DF∥BE,得到△ADF∽△ABE,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出
=
,即AE=2AF②,①與②聯(lián)立組成二元一次方程組,解出AE=2,AF=1,進而得到點A的坐標;
(2)先由拋物線過原點(0,0),設(shè)此拋物線的解析式為y=ax
2+bx,再根據(jù)拋物線過原點(0,0)和A點(﹣2,0),求出對稱軸為直線x=﹣1,則由B點橫坐標為﹣4得出C點橫坐標為2,BC=6.再由OB>OC,可知當△OBC是等腰三角形時,可分兩種情況討論:①當OB=BC時,設(shè)B(﹣4,y
1),列出方程,解方程求出y
1的值,將A,B兩點坐標代入y=ax
2+bx,運用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式;②當OC=BC時,設(shè)C(2,y
2),列出方程,解方程求出y
2的值,將A,C兩點坐標代入y=ax
2+bx,運用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式.
試題解析:(1)如圖,過點D作DF⊥x軸于點F.
由題意,可知OF=AF,則2AF+AE=4①.
∵DF∥BE,
∴△ADF∽△ABE,
∴
=
,即AE=2AF②,
①與②聯(lián)立,解得AE=2,AF=1,
∴點A的坐標為(﹣2,0);
(2)∵拋物線過原點(0,0),
∴可設(shè)此拋物線的解析式為y=ax
2+bx.
∵拋物線過原點(0,0)和A點(﹣2,0),
∴對稱軸為直線x=
=﹣1,
∵B、C兩點關(guān)于直線x=﹣1對稱,B點橫坐標為﹣4,
∴C點橫坐標為2,
∴BC=2﹣(﹣4)=6.
∵拋物線開口向上,
∴∠OAB>90°,OB>AB=OC,
∴當△OBC是等腰三角形時,分兩種情況討論:
①當OB=BC時,設(shè)B(﹣4,y
1),
則16+
=36,解得y
1=±2
(負值舍去).
將A(﹣2,0),B(﹣4,2
)代入y=ax
2+bx,
得
,解得
.
∴此拋物線的解析式為y=
x
2+
x;
②當OC=BC時,設(shè)C(2,y
2),
則4+
=36,解得y
2=±4
(負值舍去).
將A(﹣2,0),C(2,4
)代入y=ax
2+bx,
得
,解得
.
∴此拋物線的解析式為y=
x
2+
x.
綜上可知,若△OBC是等腰三角形,此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=
x
2+
x或y=
x
2+
x.