Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（4，4）、D(2, n)三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求使BM－AM的值最大時(shí)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將射線BA沿BO翻折，交y軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
(4)在（3）的條件下，連結(jié)ON,OD，如圖2，請(qǐng)求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）．

Answer 1

（1）y=x²﹣3x；（2，﹣2）；（2）（，）；（3）（）；（4）（）或（）．

試題分析：（1）根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，將（3，0）、B（4，4）代入y=ax²+bx即可求得拋物線的解析式，令x=2，即可求得點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）拋物線對(duì)稱軸上使BM－AM的值最大時(shí)的點(diǎn)M即直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，從而應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）用待定系數(shù)法求出直線CB的解析式，由點(diǎn)N在直線CB和拋物線y=x²﹣3x上，即可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）應(yīng)用對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（4，4），
∴拋物線的解析式是y=x²﹣3x．∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2）．
（2）設(shè)直線AB解析式為：y="kx+m,"    將 A（3，0）、B（4，4）代人得
，解得. ∴直線AB解析式為：.
∵拋物線對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)， ，
∴當(dāng)點(diǎn)M（，）時(shí)，BM－AM的值最大.
（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），
根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得出∠CBO=∠ABO，∠COB=∠AOB，OB="OB," ∴△AOB≌△COB.
∴OC="OA." ∴點(diǎn)C（0，3）.
設(shè)直線CB的解析式為y=kx+3，過(guò)點(diǎn)（4，4），∴直線CB的解析式是.
∵點(diǎn)N在直線CB上，∴設(shè)點(diǎn)N（n，）.
又點(diǎn)N在拋物線y=x²﹣3x上，∴，解得：n₁=，n₂=4（不合題意，舍去）。
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．
（4）如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，則N₁（），B₁（4，﹣4），
∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，∴△P₁OD∽△N₁OB₁. ∴.
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（）.
將△OP₁D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P₂（）.
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）或（）．