Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（，0），B（，2）．把矩形OABC逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到矩形OA₁B₁C₁，
（1）求B₁點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過點(diǎn)（2，0）且平分矩形OA₁B₁C₁面積的直線l方程；
（3）設(shè)（2）中直線l交y軸于點(diǎn)P，直接寫出△PC₁O與△PB₁A₁的面積和的值及△POA₁與△PB₁C₁的面積差的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，可知∠AOA₁為旋轉(zhuǎn)角，繼而得出∠AOA₁=30°，∠B₁OA=60°．過點(diǎn)B₁作B₁E⊥OA于點(diǎn)E，Rt△B₁OE中，利用直角三角形的邊與角的關(guān)系即可求得OE和B₁E的長，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)F為A₁C₁與OB₁的交點(diǎn)即可知道點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，把已知點(diǎn)代入即可求出直線l的方程．
（3）根據(jù)（2），直接計算出各個面積即可解答．
解答：解：（1）由已知可得：，
∴∠BOA=∠B₁OA₁=30°，OB=OB₁=4，
又∵∠AOA₁為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠AOA₁=30°，
∴∠B₁OA=60°，
過點(diǎn)B₁作B₁E⊥OA于點(diǎn)E，
在Rt△B₁OE中，∠B₁OE=60°，OB₁=4，
∴．
∴．（2分）

（2）設(shè)F為A₁C₁與OB₁的交點(diǎn)，可求得，
設(shè)經(jīng)過P、E的直線是l，
設(shè)直線l的方程為y=kx+b，把點(diǎn)（2，0）、（1，）代入可得：，
解得：，
∴直線l的方程為．（5分）

（3），．（7分）
點(diǎn)評：本題難度屬中上，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式以及圖形的計算，綜合性較強(qiáng)．