Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=-x的圖象l是第二、四象限的角平分線．實(shí)驗(yàn)與探究：由圖觀察易知A（-1，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-3，1），請你寫出點(diǎn)B（5，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)：

（-3，-5）

；
歸納與發(fā)現(xiàn)：
結(jié)合圖形，自己選點(diǎn)再試一試，通過觀察點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（m，n）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

（-n，-m）

；
運(yùn)用與拓廣：
已知兩點(diǎn)C（6，0），D（2，4），試在直線l上確定一點(diǎn)，使這點(diǎn)到C，D兩點(diǎn)的距離之和最小，在圖中畫出這點(diǎn)的位置，保留作圖痕跡，并求出這點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：直接根據(jù)A（-1，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-3，1）即可得出點(diǎn)B（5，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
歸納與發(fā)現(xiàn)：根據(jù)AB關(guān)于直線y=-x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出點(diǎn)P（m，n）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)；
運(yùn)用與拓廣：作點(diǎn)C關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)C'，連接C'D，交 l于點(diǎn)E，連接CE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可確定出E點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線C'D的解析式，故可得出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：∵A（-1，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-3，1），
∴B'（-3，-5）；
∵A（-1，3），B（5，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-3，1），B'（-3，-5）；
∴P'（-n，-m）．
運(yùn)用與拓廣：
如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)C'，連接C'D，交 l于點(diǎn)E，連接CE．
由作圖可知，EC=EC'，
∴EC+ED=EC'+ED=C'D．
∴點(diǎn)E為所求．   
∵C（6，0），
∴C'（0，-6）．
設(shè)直線C'D的解析式為y=kx-6．
∵D（2，4），
∴k=5．
∴直線C'D的解析式為y=5x-6．
由

y=5x-6  y=-x

得

x=1  y=-1 .

∴E（1，-1）．

點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，根據(jù)題意得出關(guān)于直線y=-x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．