Question

已知：如圖△ABC中，∠ACB=90°，點E是邊BC上一點，過點E作FE⊥BC（垂足為E）交AB于點F，且EF=AF，以點E為圓心，EC長為半徑作⊙E,交BC于點D．

（1）求證：直線AB是⊙E的切線；
（2）設直線AB和⊙E的公共點為G，AC=8，EF=5，連接EG，求⊙E的半徑r．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）4.

試題分析：（1）本題考查切線的判定，要證某一條直線是圓的切線，已知此線過圓上的某點，連接圓心和該點，證垂直即可.如圖，過點E作EG⊥AB于點G，連接EA，根據角平分線的性質得到EG=EC即可證得斜邊AB是⊙E的切線；
（2）由（1）可知，直線AB與⊙O的公共點G為切點，由切線長定理可得：AG=AC=8．由EF=AF，EF=5，可得：FG=3，在Rt△FEG中由勾股定理易求GE的長度，即⊙E的半徑r．
試題解析：
解：（1）過點E作EG⊥AB于點G，連接EA；
∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠FEA=∠FAE．
∴∠FAE=∠EAC．
∴AE為角平分線．
∴EG=EC．
∴直線AB是⊙E的切線．

（2）由（1）可知，直線AB與⊙O的公共點G為切點，
∴EG=r，EG⊥AB．
∵∠ACB=90°，EC長為半徑，
∴AC是⊙E的切線．
∴AG=AC=8．
∵EF=AF，EF=5，
∴AF=5．
∴FG=AG-AF=8-5=3，
在Rt△EFG中，根據勾股定理，得：
,
∴⊙E的半徑r=4．